Μαθηματικά (Άλγεβρα) ΕΠΑΛ Επαναληπτικές 2024: Θέματα & Λύσεις

ΑΡΧΗ 1 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΤΕΛΟΣ 1 ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ

ΑΡΧΗ 2 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΤΕΛΟΣ 2 ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ δ . Αν η καμπύλη συχνοτήτων είναι κανονική ή περίπου κανονική , με μέση τιμή x ത και τυπική απόκλιση s , τότε το 95% περίπου των παρατηρήσεων βρίσκεται στο διάστημα ሺ x ത െ 2s, x ത ൅ 2s ሻ . ε . Ισχύει lim ୶→୶ బ ሺ k ∙ f ሺ x ሻሻ ൌ k ∙ ℓ ଵ , όπου lim ୶→୶ బ f ሺ x ሻ ൌ ℓ ଵ και k πραγματική σταθερά . ΘΕΜΑ Β Ο παρακάτω πίνακας δίνει τον αριθμό των παιδιών ανά οικογένεια ενός δείγματος 20 οικογενειών . Αριθμός παιδιών x ୧ Συχνότητα ν ୧ Σχετική συχνότητα f ୧ % Αθροιστική συχνότητα Ν ୧ 0 25 1 13 2 5 3 ΣΥΝΟΛΟ 20 100 Β 1. Αφού μεταφέρετε τον παραπάνω πίνακα στο τετράδιό σας , να συμπληρώσετε σωστά τα κενά . Β 2. Να υπολογίσετε τη μέση τιμή x ത . Β 3. Να υπολογίσετε τη διάμεσο δ ( μον .3) και το εύρος R ( μον .1). Β 4. α ) Να βρείτε πόσες οικογένειες έχουν τουλάχιστον 2 παιδιά ( μον .3). β ) Να βρείτε το ποσοστό των οικογενειών που έχουν το πολύ ένα παιδί ( μον .3).

ΑΡΧΗ 3 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΤΕΛΟΣ 3 ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η συνάρτηση f ሺ x ሻ ൌ x ଷ െ x ଶ ൅ α x ൅ β , x ∈ ℝ , α , β πραγματικοί αριθμοί , για την οποία ισχύουν :  f ᇱ ሺ 2 ሻ ൌ 7 .  Η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο Αሺ 2, െ 3 ሻ . Γ 1. Να αποδείξετε ότι α ൌ െ 1 και β ൌ െ 5 . Για α ൌ െ 1 και β ൌ െ 5 : Γ 2. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία ( μον .6) και να βρείτε τα ακρότατά της ( μον .4). Γ 3. Να βρείτε την τετμημένη x ଴ του σημείου Κሺ x ଴ , f ሺ x ଴ ሻሻ της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f , στο οποίο η εφαπτομένη έχει τον ελάχιστο συντελεστή διεύθυνσης . Γ 4. Αν x ଵ , x ଶ ∈ ሺ 1, ൅∞ሻ με x ଵ ൏ x ଶ να προσδιορίσετε το πρόσημο της διαφοράς Α ൌ f ሺ x ଵ ሻ െ f ሺ x ଶ ሻ . ΘΕΜΑ Δ Στο διπλανό σχήμα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f ሺ x ሻ ൌ ሺ x െ 1 ሻ ଶ ൅ 2 και g ሺ x ሻ ൌ 2x െ 2 , με x ∈ ℝ . Δ 1. Να αποδείξετε ότι το μήκος του κατακόρυφου τμήματος ΑΒ ως συνάρτηση του x δίνεται από τον τύπο d ሺ x ሻ ൌ x ଶ െ 4x ൅ 5, x ∈ ℝ .

ΑΡΧΗ 4 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΤΕΛΟΣ 4 ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ Δ 2. Να υπολογίσετε το όριο lim ୶→ଷୢ ሺ୶ሻିଶ ඥ୥ሺ୶ሻିଶ Δ 3. Να βρείτε την τιμή του x , για την οποία το μήκος d ሺ x ሻ γίνεται ελάχιστο και να το υπολογίσετε . Δ 4. Να βρείτε το σημείο Μ൫ x ଴ , f ሺ x ଴ ሻ൯ της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f , στο οποίο η εφαπτομένη της είναι παράλληλη στην ευθεία y ൌ 2x െ 2 ( μον .6) και στη συνέχεια να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης αυτής ( μον .3). ΟΔΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟΥΣ 1. Στο τετράδιό σας να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά ( ημερομηνία , εξεταζόμενο μάθημα ). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο . 2. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων , αμέσως μόλις σας παραδοθούν . Δεν επιτρέπεται να γράψετε καμιά άλλη σημείωση . Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα . 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα , μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό ανεξίτηλης μελάνης . 4. Κάθε επιστημονικά τεκμηριωμένη απάντηση είναι αποδεκτή . 5. Διάρκεια εξέτασης : τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων . 6. Ώρα δυνατής αποχώρησης : 17:00 K ΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ