Μαθηματικά (Άλγεβρα) ΕΠΑΛ Πανελλήνιες 2024: Θέματα & Λύσεις

ΑΡΧΗ 1 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΤΕΛΟΣ 1 ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙΔΕΣ

ΑΡΧΗ 2 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΤΕΛΟΣ 2 ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙΔΕΣ ΘΕΜΑ Β Δίνεται η συνάρτηση f ሺ x ሻ ൌ ଵ ଷ x ଷ െ 3x ଶ ൅ 5x ൅ ଵ ଷ , όπου x ∈ ℝ . Β 1. Να βρείτε την παράγωγο f ′ሺ x ሻ . Β 2. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία ( μον . 6) και να βρείτε το είδος και την τιμή των ακροτάτων ( μον . 4). Β 3. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο με τετμημένη x ଴ ൌ 0 . Β 4. Να υπολογίσετε το όριο : lim ୦→଴ ୤ሺିଵା୦ ሻି୤ሺିଵሻ ୦ . ΘΕΜΑ Γ Το πρωί μίας ημέρας οι τιμές της θερμοκρασίας ( σε ℃ሻ σε 5 πόλεις της Ελλάδας ήταν : 22, 18, 20 ൅ κ , 14, 16, όπου κ πραγματικός αριθμός . Ο συντελεστής μεταβολής των παραπάνω τιμών είναι CV ൌ 20% και η τυπική απόκλιση είναι ίση με s ൌ lim ୶→ଵ ୶ మ ା଺୶ି଻ ଶ୶ିଶ . Γ 1. Να δείξετε ότι s ൌ 4 . Γ 2. Να δείξετε ότι η μέση τιμή των παραπάνω τιμών της θερμοκρασίας είναι x ത ൌ 20 . Γ 3. Να δείξετε ότι κ ൌ 10 ( μον . 6) και να βρείτε τη διάμεσο δ ( μον . 3). Γ 4. Αν το μεσημέρι της ίδιας ημέρας οι παραπάνω τιμές της θερμοκρασίας αυξήθηκαν κατά 10%, να υπολογίσετε τον συντελεστή μεταβολής των νέων τιμών της θερμοκρασίας .

ΑΡΧΗ 3 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΤΕΛΟΣ 3 ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙΔΕΣ ΘΕΜΑ Δ Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΟΒ με O ෡ ൌ 90° , κάθετες πλευρές μήκους ሺ OA ሻ ൌ x , ሺ OB ሻ ൌ y και υποτείνουσα μήκους ሺ A Βሻ ൌ 10 . Δ 1. Να δείξετε ότι η πλευρά y εκφράζεται ως συνάρτηση του x από τον τύπο : y ൌ f ሺ x ሻ ൌ √ 100 െ x ଶ ( μον . 3) και να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f ( μον . 4). Δ 2. Να υπολογίσετε τον ρυθμό μεταβολής της συνάρτησης y ൌ f ሺ x ሻ , ως προς x , όταν x ൌ 8 . Δ 3. Να υπολογίσετε το όριο : lim ୶→଺ ୤ሺ୶ሻି଼ ୶ି଺ . Δ 4. Αν x ଵ ൌ 2,3 , x ଶ ൌ 3,5 και x ଷ ൌ 2,8 είναι τιμές της πλευράς x , να αιτιολογήσετε ότι : f ሺ x ଵ ሻ ൐ f ሺ x ଷ ሻ ൐ f ሺ x ଶ ሻ . ΟΔΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟΥΣ 1. Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά ( ημερομηνία , εξεταζόμενο μάθημα ). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο . 2. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων , αμέσως μόλις σας παραδοθούν . Δεν επιτρέπεται να γράψετε καμιά άλλη σημείωση . Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα . 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα , μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό ανεξίτηλης μελάνης . 4. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή . 5. Διάρκεια εξέτασης : τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων . 6. Ώρα δυνατής αποχώρησης : 10.00 π . μ . K ΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ

ΑΡΧΗ 1 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΤΕΛΟΣ 1 ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ

ΑΡΧΗ 2 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΤΕΛΟΣ 2 ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ δ . Αν η καμπύλη συχνοτήτων είναι κανονική ή περίπου κανονική , με μέση τιμή x ത και τυπική απόκλιση s , τότε το 95% περίπου των παρατηρήσεων βρίσκεται στο διάστημα ሺ x ത െ 2s, x ത ൅ 2s ሻ . ε . Ισχύει lim ୶→୶ బ ሺ k ∙ f ሺ x ሻሻ ൌ k ∙ ℓ ଵ , όπου lim ୶→୶ బ f ሺ x ሻ ൌ ℓ ଵ και k πραγματική σταθερά . ΘΕΜΑ Β Ο παρακάτω πίνακας δίνει τον αριθμό των παιδιών ανά οικογένεια ενός δείγματος 20 οικογενειών . Αριθμός παιδιών x ୧ Συχνότητα ν ୧ Σχετική συχνότητα f ୧ % Αθροιστική συχνότητα Ν ୧ 0 25 1 13 2 5 3 ΣΥΝΟΛΟ 20 100 Β 1. Αφού μεταφέρετε τον παραπάνω πίνακα στο τετράδιό σας , να συμπληρώσετε σωστά τα κενά . Β 2. Να υπολογίσετε τη μέση τιμή x ത . Β 3. Να υπολογίσετε τη διάμεσο δ ( μον .3) και το εύρος R ( μον .1). Β 4. α ) Να βρείτε πόσες οικογένειες έχουν τουλάχιστον 2 παιδιά ( μον .3). β ) Να βρείτε το ποσοστό των οικογενειών που έχουν το πολύ ένα παιδί ( μον .3).

ΑΡΧΗ 3 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΤΕΛΟΣ 3 ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η συνάρτηση f ሺ x ሻ ൌ x ଷ െ x ଶ ൅ α x ൅ β , x ∈ ℝ , α , β πραγματικοί αριθμοί , για την οποία ισχύουν :  f ᇱ ሺ 2 ሻ ൌ 7 .  Η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο Αሺ 2, െ 3 ሻ . Γ 1. Να αποδείξετε ότι α ൌ െ 1 και β ൌ െ 5 . Για α ൌ െ 1 και β ൌ െ 5 : Γ 2. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία ( μον .6) και να βρείτε τα ακρότατά της ( μον .4). Γ 3. Να βρείτε την τετμημένη x ଴ του σημείου Κሺ x ଴ , f ሺ x ଴ ሻሻ της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f , στο οποίο η εφαπτομένη έχει τον ελάχιστο συντελεστή διεύθυνσης . Γ 4. Αν x ଵ , x ଶ ∈ ሺ 1, ൅∞ሻ με x ଵ ൏ x ଶ να προσδιορίσετε το πρόσημο της διαφοράς Α ൌ f ሺ x ଵ ሻ െ f ሺ x ଶ ሻ . ΘΕΜΑ Δ Στο διπλανό σχήμα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f ሺ x ሻ ൌ ሺ x െ 1 ሻ ଶ ൅ 2 και g ሺ x ሻ ൌ 2x െ 2 , με x ∈ ℝ . Δ 1. Να αποδείξετε ότι το μήκος του κατακόρυφου τμήματος ΑΒ ως συνάρτηση του x δίνεται από τον τύπο d ሺ x ሻ ൌ x ଶ െ 4x ൅ 5, x ∈ ℝ .

ΑΡΧΗ 4 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΤΕΛΟΣ 4 ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ Δ 2. Να υπολογίσετε το όριο lim ୶→ଷୢ ሺ୶ሻିଶ ඥ୥ሺ୶ሻିଶ Δ 3. Να βρείτε την τιμή του x , για την οποία το μήκος d ሺ x ሻ γίνεται ελάχιστο και να το υπολογίσετε . Δ 4. Να βρείτε το σημείο Μ൫ x ଴ , f ሺ x ଴ ሻ൯ της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f , στο οποίο η εφαπτομένη της είναι παράλληλη στην ευθεία y ൌ 2x െ 2 ( μον .6) και στη συνέχεια να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης αυτής ( μον .3). ΟΔΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟΥΣ 1. Στο τετράδιό σας να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά ( ημερομηνία , εξεταζόμενο μάθημα ). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο . 2. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων , αμέσως μόλις σας παραδοθούν . Δεν επιτρέπεται να γράψετε καμιά άλλη σημείωση . Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα . 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα , μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό ανεξίτηλης μελάνης . 4. Κάθε επιστημονικά τεκμηριωμένη απάντηση είναι αποδεκτή . 5. Διάρκεια εξέτασης : τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων . 6. Ώρα δυνατής αποχώρησης : 17:00 K ΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ