Μαθηματικά (Άλγεβρα) ΕΠΑΛ Πανελλήνιες 2021: Θέματα & Λύσεις

ΑΡΧΗ 1 ΗΣ ΣΕΛΙ∆ΑΣ ΤΕΛΟΣ 1 ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ∆ΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑ∆ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ – ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΠΕΜΠΤΗ 17 ΙΟΥΝΙΟΥ 2021

ΑΡΧΗ 2 ΗΣ ΣΕΛΙ∆ΑΣ ΤΕΛΟΣ 2 ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ∆ΕΣ Α 4. Να μεταφέρετε στο τετράδιό σας τις παρακάτω ισότητες και να τις συμπληρώσετε : α . 1 ′ ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ x .........., με x 0 ≠ . β . ( ) ν ′ = x ..........., όπου ν φυσικός αριθμός . γ . ( ) ′ ⋅ = ( ) c f x .........., όπου ∈ \ c και → \ \ : f συνάρτηση παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της . ΘΕΜΑ Β ∆ίνεται η συνάρτηση 2 2 = − α + f(x) x x , όπου α ∈ \ σταθερά και ∈ \ x . Β 1. Αν η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα ′ x x σε σημείο με τετμημένη ίση με 1, να βρείτε την τιμή του . α Β 2. Για 3 α = , να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης 2 1 = − ( ) ( ) f x g x x Β 3. Για 3 α = , να υπολογίσετε το όριο 1 → l im ( ) g x x . Β 4 . Για 3 α = , να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο (0, (0)) Μ f .

ΑΡΧΗ 3 ΗΣ ΣΕΛΙ∆ΑΣ ΤΕΛΟΣ 3 ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ∆ΕΣ ΘΕΜΑ Γ ∆ίνεται το παρακάτω ιστόγραμμα και το πολύγωνο των σχετικών συχνοτήτων f i που αφορούν τα έτη υπηρεσίας 50 εκπαιδευτικών . Γ 1. Να μεταφέρετε στο τετράδιό σας τον πίνακα που ακολουθεί και να τον συμπληρώσετε με βάση το παραπάνω ιστόγραμμα , Έτη υπηρεσίας Κεντρική τιμή Συχνότητα Σχετική συχνότητα a i [ , ) x i ν i f i [4,8) 5 36 D [8,12) [12,16) 14 [16,20) 20 144 D Σύνολο 50 360 D όπου a i το αντίστοιχο τόξο ενός κυκλικού τμήματος στο κυκλικό διάγραμμα συχνοτήτων .

ΑΡΧΗ 4 ΗΣ ΣΕΛΙ∆ΑΣ ΤΕΛΟΣ 4 ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ∆ΕΣ Γ 2. Πόσοι εκπαιδευτικοί έχουν συμπληρώσει τουλάχιστον 8 έτη υπηρεσίας ; Γ 3. Να βρείτε το ποσοστό των εκπαιδευτικών που έχουν συμπληρώσει υπηρεσία λιγότερη από 16 έτη . Γ 4. Πόσο είναι το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωνο των σχετικών συχνοτήτων και τον οριζόντιο άξονα ; ΘΕΜΑ ∆ Ένα οικόπεδο σχήματος ορθογωνίου έχει μήκος x μέτρα (m), πλάτος y μέτρα (m) και περίμετρο 80m. ∆ 1. Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του οικοπέδου ως συνάρτηση του x , δίνεται από τον τύπο 2 40 ( ) = − + E x x x και να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ( ) E x . ∆ 2 . Να μελετήσετε τη συνάρτηση ( ) E x ως προς τη μονοτονία της . ∆ 3. Για ποια τιμή του x το εμβαδόν του οικοπέδου γίνεται μέγιστο και ποια είναι η μέγιστη τιμή του ; ∆ 4. ∆ύο οικόπεδα Α και Β σχήματος ορθογωνίου με περίμετρο 80m το καθένα έχουν μήκη 29, 5 m Α = x και 34, 2 m Β = x , αντίστοιχα . Να απαντήσετε αιτιολογημένα ποιο από τα δύο οικόπεδα έχει το μεγαλύτερο εμβαδόν .

ΑΡΧΗ 5 ΗΣ ΣΕΛΙ∆ΑΣ ΤΕΛΟΣ 5 ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ∆ΕΣ Ο∆ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟΥΣ 1. Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά ( ημερομηνία , εξεταζόμενο μάθημα ). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο . 2. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων , αμέσως μόλις σας παραδοθούν . ∆εν επιτρέπεται να γράψετε καμιά άλλη σημείωση . Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα . 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα , μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό ανεξίτηλης μελάνης . 4. Κάθε τεκμηριωμένη απάντηση είναι αποδεκτή . 5. ∆ιάρκεια εξέτασης : τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων . 6. Ώρα δυνατής αποχώρησης : 10.00 π . μ . K ΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ

ΑΡΧΗ 1 ΗΣ ΣΕΛΙ∆ΑΣ ΤΕΛΟΣ 1 ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ∆ΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑ∆ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HME ΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΠΕΜΠΤΗ 23 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2021

ΑΡΧΗ 2 ΗΣ ΣΕΛΙ∆ΑΣ ΤΕΛΟΣ 2 ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ∆ΕΣ β . Η παράγωγος της f στο x ଴ εκφράζει τον ρυθμό μεταβολής του y ൌ fሺxሻ ως προς το x, όταν x ൌ x ଴ . γ . Ισχύει ότι ሺσυνxሻ ᇱ ൌ ημx . δ . Οι ποιοτικές ή κατηγορικές μεταβλητές διακρίνονται σε διακριτές και συνεχείς . ε . Πλάτος μίας κλάσης ονομάζεται η διαφορά του κατώτερου από το ανώτερο όριο της κλάσης . ΘΕΜΑ Β ∆ίνεται η συνάρτηση fሺxሻ ൌ 2x ଶ െ αx ൅ 6 με α ,x Թ א για την οποία ισχύει f ᇱ ሺ4ሻ ൌ 12. Β 1. Να βρείτε την f ᇱ ሺxሻ ( μον . 3) και να υπολογίσετε την τιμή του α ( μον . 3). Β 2. Για α =4 να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία της ( μον . 5) και να βρείτε τα ακρότατά της ( μον . 3). Β 3. Για α =4 να δείξετε ότι fሺxሻ ൒ 4 για κάθε x א Թ . Β 4. Για α =4 να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Aሺെ1, fሺെ1ሻሻ.

ΑΡΧΗ 3 ΗΣ ΣΕΛΙ∆ΑΣ ΤΕΛΟΣ 3 ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ∆ΕΣ ΘΕΜΑ Γ Οι χρόνοι ( σε λεπτά ) που χρειάστηκαν 50 μαθητές / μαθήτριες ενός ΕΠΑ . Λ , για να μεταβούν από το σπίτι στο σχολείο τους , έχουν ομαδοποιηθεί σε 4 κλάσεις ίσου πλάτους c, όπου όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα : Χρόνος σε λεπτά Συχνότητα ν ୧ Σ χετική Συχνότητα f ୧ % Αθροιστική Συχνότητα N ୧ ሾ14, … ሻ 15 30 15 ሾ… , … ሻ 20 40 … ሾ… , … ሻ … … … ሾ… , … ሻ 5 … 50 Σύνολο 50 100 Γ 1. Να υπολογίσετε την τιμή του πλάτους c. Γ 2. Για c=8 να μεταφέρετε τον παραπάνω πίνακα στο τετράδιό σας και να τον συμπληρώσετε . Γ 3. Για c=8 να βρείτε το ποσοστό των μαθητών / μαθητριών που χρειάστηκαν τουλάχιστον μισή ώρα για να μεταβούν στο σχολείο τους .

ΑΡΧΗ 4 ΗΣ ΣΕΛΙ∆ΑΣ ΤΕΛΟΣ 4 ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ∆ΕΣ ΘΕΜΑ ∆ Έστω f παραγωγίσιμη συνάρτηση για την οποία ισχύει : lim ୦՜଴ fሺx ൅ hሻ െ fሺxሻ h ൌ xሺ3x െ 2ሻ െ 8 για κάθε x א ሾ0, ൅∞ሻ . ∆ 1. Να αποδείξετε ότι f ᇱ ሺxሻ ൌ 3x ଶ െ 2x െ 8 . ∆ 2. Ένα σώμα κινείται σε έναν άξονα και η θέση του x τη χρονική στιγμή t δίνεται από τη σχέση xሺtሻ ൌ fሺtሻ , όπου το x μετριέται σε μέτρα και το t μετριέται σε δευτερόλεπτα . Ζητούνται : α . Η ταχύτητα του σώματος τη χρονική στιγμή t=4 δευτερόλεπτα . β . Η χρονική στιγμή κατά την οποία το σώμα είναι ακίνητο . γ . Η επιτάχυνση του σώματος τη χρονική στιγμή t=10 δευτερόλεπτα .

ΑΡΧΗ 5 ΗΣ ΣΕΛΙ∆ΑΣ ΤΕΛΟΣ 5 ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ∆ΕΣ Ο∆ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟΥΣ 1. Στο τετράδιό σας να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά ( ημερομηνία , εξεταζόμενο μάθημα ). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο . 2. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων , αμέσως μόλις σας παραδοθούν . ∆εν επιτρέπεται να γράψετε καμιά άλλη σημείωση . Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα . 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα , μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό ανεξίτηλης μελάνης . 4. Κάθε τεκμηριωμένη απάντηση είναι αποδεκτή . 5. ∆ιάρκεια εξέτασης : τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων . 6. Ώρα δυνατής αποχώρησης : 17:00 K ΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ