Μαθηματικά (Άλγεβρα) ΕΠΑΛ Πανελλήνιες 2025: Θέματα & Λύσεις

ΑΡΧΗ 1 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΤΕΛΟΣ 1 ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ

ΑΡΧΗ 2 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΤΕΛΟΣ 2 ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ Α 4. Να μεταφέρετε στο τετράδιό σας τις παρακάτω ελλιπείς ισότητες και να τις συμπληρώσετε σωστά : α . ሺ c ሻ ᇱ ൌ ⋯ β . ሺ x ଶ ሻ′ ൌ ⋯ ΘΕΜΑ Β Ο παρακάτω πίνακας παρουσιάζει το πλήθος των ωρών που εργάζονται υπερωριακά 50 υπάλληλοι σε μία επιχείρηση κατά τη διάρκεια ενός μήνα . Πλήθος ωρών x ୧ Συχνότητα ν ୧ Σχετική Συχνότητα f ୧ % Αθροιστική Συχνότητα N ୧ 0 … … … 1 15 … … 2 11 … … 3 8 … … 4 6 … 50 Σύνολο 50 100 Β 1. Να μεταφέρετε στο τετράδιό σας τον παραπάνω πίνακα και να συμπληρώσετε τα κενά . Β 2. Να υπολογίσετε τη μέση τιμή x ത του δείγματος . Β 3. Να υπολογίσετε τη διάμεσο δ του δείγματος . Β 4. α ) Να υπολογίσετε το ποσοστό των υπαλλήλων που εργάζονται υπερωριακά το πολύ 3 ώρες . ( μον . 3) β ) Αν αυξηθούν οι υπερωρίες κατά 4 ώρες σε κάθε υπάλληλο , να βρείτε τη νέα μέση τιμή . ( μον . 3)

ΑΡΧΗ 3 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΤΕΛΟΣ 3 ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η συνάρτηση f ሺ x ሻ ൌ െ 2x ଷ ൅ 6x ଶ ൅ α , x ∈ ℝ και α σταθερός πραγματικός αριθμός . Γ 1. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία . Γ 2. Να βρείτε το είδος και την τιμή των ακροτάτων της f ως συνάρτηση του α ( μον . 4) και στη συνέχεια να υπολογίσετε την τιμή του πραγματικού αριθμού α , αν το ημιάθροισμα των τιμών των ακροτάτων της f είναι െ 8 . ( μον . 4) Γ 3. Για α ൌ െ 12 , να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης ( ε ) της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο Μሺ 1, f ሺ 1 ሻሻ . Γ 4. Για α ൌ െ 12 , να δείξετε ότι x ଷ െ 3x ଶ ൅ 4 ൒ 0 για κάθε x ∈ ሾ 2, ൅∞ሻ . ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η συνάρτηση f ሺ x ሻ ൌ ଵ ଷ x ଷ ൅ λ x ଶ ൅ 7x ൅ ଶ ଷ με x ∈ ℝ και λ σταθερός πραγματικός αριθμός . Δ 1. Αν ισχύει lim ୦→଴ ୤ሺଵା୦ሻି୤ሺଵሻ ୦ ൌ 0 , να βρεθεί ο αριθμός λ . Δ 2. Για λ ൌ െ 4 , να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία . Δ 3. Για λ ൌ െ 4 , να προσδιοριστεί το πρόσημο της παράστασης Α ൌ f ሺ 2025 ሻ െ f ሺ 2020 ሻ f ቀ 3 2 ቁ െ f ቀ 5 2 ቁ

ΑΡΧΗ 4 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΤΕΛΟΣ 4 ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ Δ 4. Για λ ൌ െ 4 , να υπολογιστεί το όριο lim ୶→ଶ f ᇱ ሺ x ሻ െ f ᇱᇱ ሺ x ሻ ൅ 1 √ x ൅ 1 െ √ 3 ΟΔΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟΥΣ 1. Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά ( ημερομηνία , εξεταζόμενο μάθημα ). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο . 2. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων , αμέσως μόλις σας παραδοθούν . Δεν επιτρέπεται να γράψετε καμιά άλλη σημείωση . Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα . 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα , μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό ανεξίτηλης μελάνης . 4. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή . 5. Διάρκεια εξέτασης : τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων . 6. Ώρα δυνατής αποχώρησης : 10.00 π . μ . K ΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ

ΑΡΧΗ 1 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΤΕΛΟΣ 1 ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ

ΑΡΧΗ 2 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΤΕΛΟΣ 2 ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ Α 4. Να μεταφέρετε στο τετράδιό σας τις παρακάτω ελλιπείς ισότητες και να τις συμπληρώσετε σωστά : α . ሺημ x ሻ ᇱ ൌ ⋯ β . ሺ√ x ሻ′ ൌ ⋯ , με x ൐ 0 ΘΕΜΑ Β Δίνονται οι συναρτήσεις f ሺ x ሻ ൌ x ଶ ൅ kx െ 6 , x ∈ ℝ , k πραγματικός αριθμός και g ሺ x ሻ ൌ 3x െ 6, x ∈ ℝ . Β 1. Αν f ᇱ ሺ 3 ሻ ൌ 7 , να υπολογίσετε τον πραγματικό αριθμό k . Για k ൌ 1 : Β 2. Να υπολογίσετε το lim ୶→ଶ ୥ሺ௫ሻ ୤ሺ୶ሻ . Β 3. Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g . Β 4. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Αሺ 1, f ሺ 1 ሻሻ ( μον . 6) και στη συνέχεια να αιτιολογήσετε γιατί η παραπάνω εφαπτομένη είναι παράλληλη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης g ( μον . 2).

ΑΡΧΗ 3 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΤΕΛΟΣ 3 ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ ΘΕΜΑ Γ Δίνεται ο παρακάτω πίνακας κατανομής συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων που αφορά τις τιμές ενός δείγματος μεγέθους ν Τιμές x ୧ Συχνότητα ν ୧ Σχετική συχνότητα f ୧ α ୧ 0 0,10 36° 1 6 0,30 2 0,25 3 0,20 4 0,15 54° ΣΥΝΟΛΟ 1 360° όπου α ୧ το τόξο του κυκλικού τμήματος στο κυκλικό διάγραμμα συχνοτήτων που αντιστοιχεί στην τιμή x ୧ όπου i ൌ 1,2,3,4, 5 . Γ 1. Να αποδείξετε ότι το μέγεθος του δείγματος είναι ν ൌ 20 . Γ 2. Να μεταφέρετε στο τετράδιό σας τον παραπάνω πίνακα και να συμπληρώσετε τα κενά . Γ 3. Να υπολογίσετε τη μέση τιμή x ത του δείγματος . Γ 4. Να υπολογίσετε τη διακύμανση s ଶ του δείγματος . Γ 5. Να υπολογίσετε τον συντελεστή μεταβολής CV του δείγματος και να εξετάσετε αν το δείγμα είναι ομοιογενές . Δίνεται ඥ 1,5 ≃ 1,22

ΑΡΧΗ 4 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΤΕΛΟΣ 4 ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ ΘΕΜΑ Δ Έστω f παραγωγίσιμη συνάρτηση για την οποία ισχύει : lim ୦→଴ ୤ሺ୶ା୦ሻି୤ ሺ୶ሻ ୦ ൅ x ଶ െ x ൌ 3x ଶ ൅ 3 ሺ 1 െ 2x ሻ , x ∈ ℝ και f ሺ 1 ሻ ൌ 1 . Δ 1. Να αποδείξετε ότι f ᇱ ሺ x ሻ ൌ 2x ଶ െ 5x ൅ 3, x ∈ ℝ . Δ 2. Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία . Δ 3. Να αιτιολογήσετε ότι f ᇱ ሺ 197 ሻ ൏ f ᇱ ሺ 314 ሻ . Δ 4. Να υπολογιστεί το lim ୦→଴ ୤ሺଵା୦ሻି୤ ሺଵሻ √ଵା୦ିଵ . ΟΔΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟΥΣ 1. Στο τετράδιό σας να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά ( ημερομηνία , εξεταζόμενο μάθημα ). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο . 2. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων , αμέσως μόλις σας παραδοθούν . Δεν επιτρέπεται να γράψετε καμιά άλλη σημείωση . Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα . 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα , μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό ανεξίτηλης μελάνης . 4. Κάθε επιστημονικά τεκμηριωμένη απάντηση είναι αποδεκτή . 5. Διάρκεια εξέτασης : τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων . 6. Ώρα δυνατής αποχώρησης : 17:00 K ΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ