Μαθηματικά (Άλγεβρα) ΕΠΑΛ Πανελλήνιες 2022: Θέματα & Λύσεις

ΑΡΧΗ 1 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΤΕΛΟΣ 1 ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ

ΑΡΧΗ 2 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΤΕΛΟΣ 2 ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ ΘΕΜΑ Β Κατά τον μήνα Νοέμβριο οι απουσίες πέντε (5) μαθητών ήταν : 25, 10, 5, 20, 15. Β1 . Να υπολογίσετε τη μέση τιμή x ̅ (μον.4) και το εύρος (μον. 3) του παραπάνω δείγματος των πέντε μαθητών. Β2 . Να υπολογίσετε τη διακύμανση s 2 . Β3 . Να υπολογίσετε τον συντελεστή μεταβολής CV του δείγματος (μον . 6 ) και να εξετάσετε αν το δείγμα είναι ομοιογενές απαντώντας αιτιολογημένα (μον. 5 ). ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η συνάρτηση f ( x ) = x 3 − 9 x 2 + α x + 1 , όπου x , α ∈ ℝ . Γ1. Αν ο ρυθμός μεταβολής της f για x = 1 είναι ίσος με 0, να δείξετε ότι α = 15 . Γ 2 . Για α = 15 να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Μ ( 2 , f ( 2 ) ) . Γ 3 . Για α = 15 να μελετήσετε τη συνάρτηση f ( x ) ως προς τη μονοτονία (μον. 6) και τα ακρότατα (μον. 2) . Γ 4 . Για α = 15 να βρείτε το όριο lim x → 1 f ′ ( x ) x 2 − 1

ΑΡΧΗ 3 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΤΕΛΟΣ 3 ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η συνάρτηση f ( x ) = x x + 1 Δ1. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης (μον. 2) και να υπολογίσετε την παράγωγο f ′ ( x ) (μον. 4). Δ 2 . Υποθέτουμε ότι ο χρόνος επιστροφής , σε λεπτά, από το σχολείο στο σπίτι για τους μαθητές μίας περιφέρειας ακολουθεί την κανονική κατανομή, με μέση τιμή και τυπική απόκλιση x ̅ = 1 f ′ ( 2 ) , s = 1 2f ′ ( 1 ) α ντίστοιχα . Να δείξετε ότι x ̅ = 9 και s = 2 . Δ 3 . Αν το πλήθος των μαθητών της περιφέρειας είναι 200 0 , πόσοι από αυτούς έχουν χρόνο επιστροφής από 5 έως 11 λεπτά (μον. 6) και πόσοι πάνω από 15 λεπτά (μον. 3); Δ 4 . Να υπολογίσετε τη μέση τιμή και την τυπική απόκλιση , στην περίπτωση που ο χρόνος επιστροφής των μαθητών της περιφέρειας αυξηθεί κατά 3 λεπτά .

ΑΡΧΗ 4 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΤΕΛΟΣ 4 ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ ΟΔΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟΥΣ 1. Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, εξεταζόμενο μάθημα). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο. 2. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων, αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Δεν επιτρέπεται να γράψ ετε καμιά άλλη σημείωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα, μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό ανεξίτηλης μελάνης . 4. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι απ οδεκτή. 5. Διάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 6. Ώρα δυνατής αποχώρησης: 10.00 π.μ. KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ

ΑΡΧΗ 1 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΤΕΛΟΣ 1 ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙΔΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ

ΑΡΧΗ 2 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΤΕΛΟΣ 2 ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙΔΕΣ β. Αν f και g παραγωγίσιμες συναρτήσεις , ισχύει ( f ( x ) g ( x ) ) ′ = f ′ ( x ) ∙ g ( x ) − g ′ ( x ) ∙ f ( x ) g ( x ) , g ( x ) ≠ 0 . γ. Αν η καμπύλη συχνοτήτων είναι κανονική ή περίπου κανονική , με μέση τιμή x ̅ και τυπική απόκλιση s , τότε το 95 % περίπου των παρατηρήσεων βρίσκεται στο διάστημα ( x ̅ − 3s , x ̅ + 3s ) . δ. Το εύρος ή κύμανση ( R ) είναι μέτρο διασποράς. ε. Το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωνο συχνοτήτων και τον οριζόντιο άξονα είναι ίσο με 1. ΘΕΜΑ Β Δίνεται η συνάρτηση f ( x ) = x 3 + α x 2 − 6x + 3 , όπου x , α πραγματικοί αριθμοί. Β1. Αν ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της καμπύλης της f στο σημείο της Μ ( 2 , f ( 2 ) ) είναι ίσος με 14, να αποδείξετε ότι α = 2 . Β2. Για α = 2 , να βρείτε το όριο lim x → − 3 f ′′ ( x ) + 14 x 2 − 9 Β3. Για α = 2 να μελετήσετε τη συνάρτηση g ( x ) = f ′ ( x ) − 16x , με x πραγματικός αριθμός , ως προς τη μονοτονία (μον.8) και να βρείτε τα ακρότατα (μον.2).

ΑΡΧΗ 3 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΤΕΛΟΣ 3 ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙΔΕΣ ΘΕΜΑ Γ Οι χρόνοι (σε λεπτά) , που χρειάστηκαν 200 μαθητές για να λύσουν ένα πρόβλημα , ομαδοποιήθηκαν σύμφωνα με τον παρακάτω πίνακα : Κλάσεις [ - ) Συχνότητα ν i Σχετική Συχνότητα f i Αθροιστική Σχετική Συχνότητα F i % 20 − 24 … 0,10 … 24 − 28 … 0,20 … 28 − 32 … 0,30 … 32 − 36 … 0,35 … 36 − 40 … … … Σύνολο 200 … Γ1 . Να μεταφέρετε τον παραπ άνω πίνακα στο τετράδιό σας και να συμπληρώσετε τα κενά. Γ2 . Να κατασκευάσετε το ιστόγραμμα (μον.3) και το πολύγωνο (μον.1) των αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων επί τ οι ς % . Γ3 . Να βρείτε το ποσοστό των μαθητών οι οποίοι χρειάστηκαν μέχρι και 26 λεπτά για να λύσουν το πρόβλημα. Γ4 . Να υπολογίσετε τον μέσο χρόνο που χρειάζεται ένας μαθητής για να λύσει το πρόβλημα .

ΑΡΧΗ 4 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΤΕΛΟΣ 4 ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙΔΕΣ ΘΕΜΑ Δ Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α ̂ = 90 ο ) , με κάθετες πλευρές ΑΒ = x , ΑΓ = ψ και υποτείνουσα ΒΓ = α , κατασκευάζουμε εξωτερικά τετράγωνο ΒΕΔΓ , με πλευρά ΒΓ = α , όπως το διπλανό σχήμα. Αν το άθροισμα των καθέτων πλευρών του τριγώνου ΑΒΓ είναι 20 cm , τότε : Δ1. Να εκφράσετε την υποτείνουσα ΒΓ του τριγώνου ΑΒΓ ως συνάρτηση του x . Δ2. Να εκφρ άσετε το εμβαδόν Ε ( x ) του τετραγώνου ΒΕΔΓ ως συνάρτηση του x (μον.2) και να βρεθεί το πεδίο ορισμού του εμβαδού Ε ( x ) (μον.3) . Δ 3 . Για ποιες τιμές του x το εμβαδόν Ε ( x ) γίνεται ελάχιστο (μον.5) και ποια είναι η ελάχιστη τιμή του (μον.2) ; Δ 4 . α. Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν Τ ( x ) του ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ είναι ίσο με Τ ( x ) = 10x − 1 2 x 2 . β. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, όταν το εμβαδόν Τ ( x ) του τριγώνου γίνεται μέγιστο .

ΑΡΧΗ 5 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΤΕΛΟΣ 5 ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙΔΕΣ ΟΔΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟΥΣ 1. Στο τετράδιό σας να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, εξεταζόμενο μάθημα). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο. 2. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων, αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Δεν επιτρέπεται να γράψετε καμιά άλλη σημείωση. Κ ατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε σ το τετράδιό σας σε όλα τα θέματα, μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό ανεξίτηλης μελάνης . 4. Κάθε επιστημονικά τεκμηριωμένη απάντηση είναι αποδεκτή. 5. Διάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 6. Ώρα δυνατής αποχώρησης: 17: 00 KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ