Μαθηματικά (Άλγεβρα) ΕΠΑΛ Πανελλήνιες 2023: Θέματα & Λύσεις

ΑΡΧΗ 1 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΤΕΛΟΣ 1 ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ

ΑΡΧΗ 2 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΤΕΛΟΣ 2 ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ ΘΕΜΑ Β Δίνεται η συνάρτηση f ሺ x ሻ ൌ 2x ଷ ൅ α x ଶ െ 12x ൅ 10, όπου x ∈ ℝ και α ∈ ℝ . Β 1. Να βρείτε την παράγωγο f ′ሺ x ሻ . Β 2. Αν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο x ଴ ൌ 1 είναι παράλληλη στον άξονα x ᇱ x, να υπολογίσετε το α . Β 3. Για α ൌ 3, να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το είδος και την τιμή των ακροτάτων . Β 4. Για α ൌ 3, να υπολογίσετε το όριο lim ୶→ଵ ୤ ᇲ ሺ୶ሻ ୶ିଵ . ΘΕΜΑ Γ Ρωτήθηκαν οι μαθητές / τριες της Γ ’ τάξης ενός ΕΠΑΛ πόσες ώρες διέθεσαν στα μέσα κοινωνικής δικτύωσης την προηγούμενη εβδομάδα . Οι απαντήσεις τους ομαδοποιήθηκαν όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα : Κλάσεις [ , ) Κεντρική τιμή x ୧ Συχνότητα 𝜈 ୧ x ୧ 𝜈 ୧ [8,12) 10 20 200 [12,16) 14 15 210 [16,20) 𝜈 ଷ [20,24) 5 Σύνολο Δίνεται ότι ο μέσος χρόνος είναι x ത ൌ 14.

ΑΡΧΗ 3 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΤΕΛΟΣ 3 ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ Γ 1. Να δείξετε ότι ν ଷ ൌ 10 . Γ 2. Να μεταφέρετε στο τετράδιό σας τον προηγούμενο πίνακα και να συμπληρώσετε τα κενά . Γ 3. Να υπολογίσετε τη διακύμανση s ଶ . Γ 4. Να υπολογίσετε τον συντελεστή μεταβολής CV. Είναι το δείγμα ομοιογενές ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας . ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η συνάρτηση f ሺ x ሻ ൌ െ ଵ ୶ మ , με x ് 0 . Δ 1. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία στο πεδίο ορισμού της . Δ 2. Να δείξετε ότι για κάθε x ∈ ሾെ 4, െ 1 ሿ ισχύει : െ 1 ൑ f ሺ x ሻ ൑ െ ଵ ଵ଺ Δ 3. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης ሺεሻ της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο Μሺ 1, f ሺ 1 ሻሻ . Δ 4. Αν A ሺ x ଵ , y ଵ ሻ , B ሺ x ଶ , y ଶ ሻ , Γሺ x ଷ , y ଷ ሻ είναι σημεία της εφαπτομένης ሺεሻ τέτοια ώστε οι τετμημένες τους x ଵ , x ଶ , x ଷ να έχουν μέση τιμή x ത ൌ 4 και τυπική απόκλιση s ୶ ൌ 2, να υπολογίσετε τον συντελεστή μεταβολής CV των τεταγμένων y ଵ , y ଶ , y ଷ .

ΑΡΧΗ 4 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΤΕΛΟΣ 4 ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ ΟΔΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟΥΣ 1. Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά ( ημερομηνία , εξεταζόμενο μάθημα ). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο . 2. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων , αμέσως μόλις σας παραδοθούν . Δεν επιτρέπεται να γράψετε καμιά άλλη σημείωση . Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα . 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα , μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό ανεξίτηλης μελάνης . 4. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή . 5. Διάρκεια εξέτασης : τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων . 6. Ώρα δυνατής αποχώρησης : 10.00 π . μ . K ΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ

ΑΡΧΗ 1 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΤΕΛΟΣ 1 ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙΔΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ

ΑΡΧΗ 2 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΤΕΛΟΣ 2 ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙΔΕΣ Α 4. Να μεταφέρετε στο τετράδιό σας τις παρακάτω ελλιπείς ισότητες και να τις συμπληρώσετε σωστά : α . ቀ ଵ ୶ మ ቁ ᇱ ൌ ⋯ β . ሺ f ሺ x ሻ ∙ g ሺ x ሻሻ′ ൌ ⋯ γ . lim ୶→୶ బ ሺ f ሺ x ሻሻ ஝ ൌ ⋯ , όπου lim ୶→୶ బ f ሺ x ሻ ൌ ℓ ଵ , ℓ ଵ πραγματικός αριθμός , ν ακέραιος . ΘΕΜΑ Β Ο χρόνος αναμονής ( σε λεπτά ) ενός δείγματος επιβατών σε μία στάση λεωφορείου , κατά τη διάρκεια μίας ημέρας , ακολουθεί περίπου την κανονική κατανομή με μέση τιμή x ത ൌ 5 και τυπική απόκλιση s ൌ lim ୶→ଵ ୶ିଵ ଶሺ√୶ିଵሻ . Β 1. Να υπολογίσετε την τυπική απόκλιση s . Αν s ൌ 1 : Β 2. Να βρείτε το ποσοστό του δείγματος με χρόνο αναμονής από 3 έως 6 λεπτά . Β 3. Να βρείτε τη διάμεσο δ ( μον .1), τον συντελεστή μεταβολής CV ( μον .2) και να εκτιμήσετε το εύρος R ( μον .1). Β 4. Αν ο χρόνος αναμονής 380 ατόμων είναι από 3 έως 7 λεπτά , να βρείτε το μέγεθος του δείγματος .

ΑΡΧΗ 3 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΤΕΛΟΣ 3 ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙΔΕΣ ΘΕΜΑ Γ Τα έτη υπηρεσίας των 50 υπαλλήλων μίας εταιρείας ομαδοποιήθηκαν σε 4 κλάσεις ίσου πλάτους , όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα : Έτη [ , ) Κεντρική τιμή x ୧ Συχνότητα ν ୧ Σχετική Συχνότητα f ୧ % Αθροιστική Σχετική Συχνότητα F ୧ % ሾ 0, 10 ) 5 7 14 … ሾ 10, 20 ሻ 15 2 α ൅ 4 … … ሾ 20, 30 ሻ 25 10 … … ሾ 30, 40 ሻ 35 3 α െ 6 … 100 Σύνολο 50 100 Γ 1. Να υπολογίσετε το α . Αν α ൌ 7 : Γ 2. Να μεταφέρετε στο τετράδιό σας τον πίνακα και να συμπληρώσετε τα κενά . Γ 3. Να υπολογίσετε τη μέση τιμή x ത . Γ 4. α . Να κατασκευάσετε το ιστόγραμμα ( μον .3) και το πολύγωνο ( μον . 1) των αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων %. β . Να εκτιμήσετε τη διάμεσο ( μον . 3).

ΑΡΧΗ 4 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΤΕΛΟΣ 4 ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙΔΕΣ ΘΕΜΑ Δ Μία δεξαμενή σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου με ύψος 5 μέτρα , έχει βάση ορθογώνιο μήκους x και πλάτους y (o ι διαστάσεις x, y εκφράζονται σε μέτρα ). Η περίμετρος της βάσης είναι 40 μέτρα . Δ 1. Να εκφράσετε το πλάτος y ως συνάρτηση του x . Δ 2. Να δείξετε ότι ο όγκος της δεξαμενής δίνεται από τη συνάρτηση με τύπο V ሺ x ሻ ൌ 100x െ 5x ଶ και να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης του όγκου V ሺ x ሻ . Δ 3. α . Για ποια τιμή του x η δεξαμενή έχει τον μέγιστο όγκο ( μον . 8); β . Να υπολογίσετε τον μέγιστο όγκο ( μον . 2). Δ 4. Δύο δεξαμενές Α και Β ίδιου σχήματος με την αρχική , έχουν μήκη x ୅ ൌ 11,81 μέτρα και x ୺ ൌ 11,82 μέτρα αντιστοίχως . Να απαντήσετε αιτιολογημένα ποια από τις δύο δεξαμενές έχει τον μεγαλύτερο όγκο .

ΑΡΧΗ 5 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΤΕΛΟΣ 5 ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙΔΕΣ ΟΔΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟΥΣ 1. Στο τετράδιό σας να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά ( ημερομηνία , εξεταζόμενο μάθημα ). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο . 2. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων , αμέσως μόλις σας παραδοθούν . Δεν επιτρέπεται να γράψετε καμιά άλλη σημείωση . Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα . 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα , μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό ανεξίτηλης μελάνης . 4. Κάθε επιστημονικά τεκμηριωμένη απάντηση είναι αποδεκτή . 5. Διάρκεια εξέτασης : τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων . 6. Ώρα δυνατής αποχώρησης : 17:00 K ΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ