Μαθηματικά Πανελλήνιες 2023: Θέματα & Λύσεις

ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ἃ. ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΡΙΤΗ 6 ΙΟΥΝΙΟΥ 2023

ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑΑ ΑΊ. Να αποδείξετε ότι αν οι συναρτήσεις Τ και εἶναι παραγωγίσιµες στο Χρ. τότε η συνάρτηση Τε εἶναι παραγωγίσιµη στο Χρ Και ισχύει: (Γ- 9) (χο) Γ(χς)α΄(χο)

Α2. Έστω Τ µια συνάρτηση µε πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α. Πότε λέμε ότι η

Γ εἶναι παραγωγίσιµη σε ένα κλειστό διάστηµα [α,β] του πεδίου ορισμού

της;

ΑΔ. Να διατυπώσετε το θεώρημα του ΕοΙΙ6 (μονάδες 3) και να δώσετε τη γεωμετρική του ερμηνεία (μονάδες 2).

Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση εἶναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση εἶναι λανθασμένη. . Χ α) Ισχύει ότι ΙΙΓΩ πμ ηΛά Χο Χ

β) Η γραφική παράσταση µιας πολυωνυμικής συνάρτησης περιττού βαθμού έχει πάντοτε οριζόντια εφαπτομένη.

γ) Για κάθε συνάρτηση Τ, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα Δ και γνησίως αύξουσα στο Δ, ισχύει ότι Γ'(χ)22 0 σε κάθε εσωτερικό σηµείο Χ του Δ.

δ) Αν η Τ:]ξ-» εἶναι µια «ένα προς ένα» (“1-1”) συνάρτηση, τότε οι γραφικές παραστάσεις Ο και Ο' των συναρτήσεων ΤΓ και Ε-1 εἶναι συμμετρικές ως προς την ευθεία ΥΞΧ που διχοτοµεί τις γωνίες ΧΟΥ και ΧΟΌνυ'.

ε) Αν Γ, Ὁ εἶναι δύο συναρτήσεις και ορίζονται οι [ο] και Φοἳ, τότε αυτές δεν είναι υποχρεωτικά ίσες.

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ

ΘΕΜΑ Β , : , ᾱ-.ϱδ” : Δίνεται η συνάρτηση :πὶ -»Τὶ µε τύπο Ο(χ)Ξ------- και η συνάρτηση Θ Ω: (0,0) --» Πὶ µε τύπο Η(χ) ΞΙΗΧ. ΒΊ. Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση Γ-αοΠη.

4.- χὁ Έστω Πχ) ------ κ»0. Χ Β2. Ι) Να µελετήσετε τη συνάρτηση Τ ως προς τη μονοτονία (µονάδες 4). μ Κος Α-πἲ , Π) Να αποδείξετε ότι ---ςς- --- (µονάδες 4). 4-8” 8

Β3. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης Γ.

2 Β4. Να υπολογίσετε το. ΙΓ συνῄΊ« κ) . Χχ- χο ΤΟ)

ΘΕΜΑΓ Δίνεται η συνάρτηση: [χῖ-ὀχε , Χ«Ί Πε ᾗτεα , ΧΣΊ ἰχ όπου ας ΤΠ, για την οποία γνωρίζουμε επιπλέον ότι 3 [ κος αχ -Ἱ. 2 ΓΊ. Να αποδείξετε ότι αΞ0.

Γ2. ΙΙ) Να αποδείξετε ότι ορίζεται εφαπτομένη (ε) της γραφικής παράστασης της συνάρτησης { στο σηµείο της µε τετµημένη Χρ Ξ Ί (μονάδες 4). Π). Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας (ε) και τη γωνία που σχηματίζει η (ε) µε τον άξονα Χ᾽Χ (µονάδες 4).

ΤΕΛΟΣ 2ΗΣ ΑΠΟ 4ΣΕΛΙΔΕΣ

ΓΔ. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση { είναι «ένα προς ένα» ("1-1’) (μονάδες 3) και στη συνέχεια να βρείτε το σύνολο τιµών της (μονάδες 3).

Γ4. Έστω (ε):Υ-Ξ--Χ-ε2 η εξίσωση της εφαπτοµένης του ερωτήματος Γ2. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της Γ µε Χ2 1, την ευθεία (ε), τον άξονα Χ'Χ και την ευθεία ΧΞΘ.

ΘΕΜΑΔ Δίνεται συνάρτηση Γ:(ο,2) πΝ µε τύπο: Ί ΤρΟ0 5 Ιη(2--κ)------κ, όπουκε Χ για την οποία ισχύει: ο. Π(χ)-- 2Χ Πε πο -κ. ἐε.. χοΊ χ-Ί ΔΊ. Να αποδείξετε ότι κ δ.

Δ2. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση [(χ)-Ξ 0 έχει ακριβώς δύο ρίζες Χι.Χ, µε Χι«Ί«Χ, (µονάδες 4) καὶ στη συνέχεια να αποδείξετε ότι Χ, «ὁ (µονάδες 2).

Στα παρακάτω ερωτήματα, Χ, Καὶ Χ, εἶναι οι ρίζες που αναφέρονται στο ερώτημα ΔΖ. Δ3. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό σηµείο Μ(ξ,Π(ξ)), µε ξε (0,1), στο οποίο η κλίση της γραφικής παράστασης της συνάρτησης Γ ισούται µε 1 3 51) Ί--ὄχ.

ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 4ΣΕΛΙΔΕΣ

Δ4. Αν επιπλέον Ε και είναι δύο αρχικές συναρτήσεις της συνάρτησης Ί

στο διάστηµα (0,2) µε Ε(χ.)-- Θ(χ,) -- 0, να αποδείξετε ὁτι:

ἢ΄-Ε(ς)-Θ(ς)-0 (μονάδες 4)

Π) η εξίσωση

χ.Ε(χ) --χ, Θ(χ) -- χι: Χ,-- 2Χ έχει ακριβώς µία λύση στο διάστηµα (Χρ, Χ,)). (μονάδες 5)

ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζοµένους / τις εξεταζόµενες)

Ἱ.. Στο εξώφυλλο του τετραδίου να γράψετε το εξεταζόµενο µάθηµα. Στο εσώφυλλο πάνω-πάνω να συμπληρώσετε τα ατομικά στοιχεία μαθητή. Στην αρχή των απαντήσεών σας να γράψετε πάνω-πάνω την ηµεροµηνία και το εξεταζόµενο µάθηµα. Να µην αντιγράψετε τα θέµατα στο τετράδιο και να µη γράψετε πουθενά αλλού στο τετράδιό σας το όνομά σας.

2... Να γράψετε το ονοµατεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αµέσως µόλις σας παραδοθούν. Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέµατα δεν θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε µαζί µε το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα.

3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέµατα µόνο µε µπλε ή µόνο µε μαύρο στυλό µε μελάνι που δεν σβήνει. Μολύβι επιτρέπεται, µόνο αν το ζητάει η εκφώνηση, και µόνο για πίνακες, διαγράµµατα κ.λπ.

4. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή.

Β. Διάρκεια εξέτασης: τρεις (8) ώρες µετά τη διανοµή των φωτοαντιγράφων.

6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: 10.00 π.μ.

ΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 4ΣΕΛΙΔΕΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ

ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ Ί5 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2023 ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΡΕΙΣ (3) ΘΕΜΑ Α Α1. . Αν µια συνάρτηση ἶ είναι παραγωγίσιµη σε ένα σηµείο Χρ του πεδίου ορισμού της, να αποδείξετε ότι είναι καὶ συνεχής στο σημείο αυτό.

Α2. Να διατυπώσετε το θεώρημα ΒοἰΖ8ηο.

Α3. Πότε λέμε ότι δύο συναρτήσεις Τ και 0] είναι ίσες;

Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο

Τετράδιό σας, δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη

λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι

λανθασμένη.

α) Αν Τ:Ηᾷ-» εἶναι µια “Ί-1” συνάρτηση, τότε οἱ γραφικές παραστάσεις Ο και Ο’ των συναρτήσεων Τ και ΕΞ" είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία Υ ΞΧ που διχοτοµεί τις γωνίες ΧΟΥ και ΧΌγ'.

β) Ισχύει ότι ΗΙπη ΙηΧΞ--ο.

χ-ο0”

γ) Για κάθε ζεύγος Τ,] συνεχών συναρτήσεων στο [α, β] ισχύει ότι: Ρ Ρ Ρ [Γουαροαχ--[τροαχ. [σίωακ α α α

δ) Αν τη Τ(χ)50, τότε Γ(χ)2 0 κοντά στοΧρ.

Χ-Χρ

ε) Οἱ γραφικές παραστάσεις πολυωνυμικών συναρτήσεων βαθμού

μεγαλύτερου ή ίσου του 2 έχουν ασύμπτωτες.

ΘΕΜΑ Β Δίνεται η συνάρτηση Τ:(0, τα) -» Τε µε τύπο ρἑ- χκεῖ . Χ ΒΊ. Να µελετήσετε την Τ ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙΔΕΣ

Β2. Να µελετήσετε την Γ ως προς την κυρτότητα και να προσδιορίσετε, αν υπάρχουν, τα σηµεία καμπής της γραφικής της παράστασης.

Β3. Να εξετάσετε αν ικανοποιούνται οι υποθέσεις του θεωρήματος ΚΕΚο!!Ιθ στο διάστηµα 2 31 3 2]

Β4. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της [, τον άξονα χ᾿χ και τις ευθείες ΧΞΊκαιχΞθ.

ΘΕΜΑΓ γξο γ µ - Γ Ι η µ Δ -Ἵ 0 Α(α, 0) Χ Στο παραπάνω σχήμα φαίνονται οι γραφικές παραστάσεις Ο, και Ος των συναρτήσεων Τ:-» Έ και ϱ᾿:(--,0) -» ἳ µε τύπους Τ(κ)-- 6΄΄ και α(χ)-----. Χ Το ορθογώνιο ΑΒΓΔ έχει τις κορυφές Α και Δ πάνω στον άξονα χ᾿χ και τις κορυφές Β και Γ πάνω στις Ο, καὶ Ος. αντίστοιχα. Έστω Α(α.,0) µε α5-Ί. Γ1. Να αποδείξετε ότι οι συντεταγμένες του σημείου Γ είναι (-ο-”', 633).

Γ2. Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του ορθογωνίου ΑΒΓΔ δίνεται, ως συνάρτηση του α, από τον τύπο Ε(α)Ξθ-εα. θα

Γ3. Να βρείτε τη θέση του σημείου Α για την οποία το εμβαδόν του ορθογωνίου ΑΒΓΔ µεγιστοποιείται.

ΤΕΛΟΣ 2ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙΔΕΣ

Γά4. Να εξετάσετε αν υπάρχει θέση του σημείου Α ώστε το ορθογώνιο ΑΒΓΔ να έχει εμβαδόν 4 τ.µ.

ΘΕΜΑ Δ

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση [Γ:ᾷ -» 8 για την οποία ισχύει:

Ί µ χἔ. {λ]- ηµχ., για κάθε χε0. [ χὁ 1 χ.ο ΔΊ. Να αποδείξετε ότι: Πχ) -Ξ ή ημας ’ ν-

Δ2. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης [{ στο σηµείο Ο(ο.ο). Μονάδες ὃ8

Δ3. Να βρείτε την ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της [ στο Ίο.

Δ4. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα

1 [-- [το συνχ αχ -Ί

ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζοµένους)

1... Στο εξώφυλλο του τετραδίου να γράψετε το εξεταζόµενο µάθηµα. Στο εσώφυλλο πάνω-πάνω να συμπληρώσετε τα ατομικά σας στοιχεία. Στην αρχή των απαντήσεών σας να γράψετε πάνω-πάνω την ημερομηνία καὶ το εξεταζόµενο µάθηµα. Να µην αντιγράψετε τα θέµατα στο τετράδιο καὶ να µη γράψετε πουθενά στις απαντήσεις σας το όνομά σας.

2. . Να γράψετε το ονοµατεπώνυμό σας στο πάνω µέρος των φωτοαντιγράφων αµέσως μόλις σας παραδοθούν. Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέµατα δεν θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί µε το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα.

3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέµατα µόνο µε µπλε ή µόνο µε μαύρο στυλό µε μελάνι που δεν σβήνει.

4. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη εἶναι αποδεκτή.

Β. Διάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες µετά τη διανοµή των φωτοαντιγράφων.

6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: 11:00

ΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙΔΕΣ

ΑΡΧΗ 1 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΤΕΛΟΣ 1 ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙΔΕΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΠΟΥ ΥΠΗΡΕΤΟΥΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ

ΑΡΧΗ 2 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΤΕΛΟΣ 2 ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙΔΕΣ Β 1. Να προσδιορίσετε τη σύνθε τη συνάρτηση h f g   . Αν   4 2 h x x 8x 16, x      : Β 2. Να βρείτε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της h στο σημείο   1, h(1) . Β 3. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα 1 1 h(x)dx     . Β 4. Να υπολογίσετε το όριο 2 2 x h(x) lim (x 2)   . ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η συνάρτηση   f : 0,     με τύπο   1 x x x f   . Γ 1. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα . Γ 2. Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα και να προσδιορίσετε , αν υπάρχουν , τα σημεία καμπής της γραφικής της παράστασης . Γ 3. Να εξετάσετε αν ικανοποιούνται οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο διάστημα 2 3 , 3 2       . Γ 4. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρί ου που περικλείεται από τη γ ρ α φ ι κ ή παράσ τ ασ η τ η ς f , τ ο ν ά ξ ο να x’ x κ α ι τ ι ς ε υ θ ε ίες x 1  κ α ι x e  . ΘΕΜΑ Δ Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται οι γραφικές παραστάσεις f C και g C τ ω ν συναρτήσεων f :    και   g : , 0    με τύπους x f(x) e   και e g(x) x   .

ΑΡΧΗ 3 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΤΕΛΟΣ 3 ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙΔΕΣ Το ορθογ ώνιο ΑΒΓ Δ έχει τις κορυφές Α και Δ πάνω στον άξονα x’ x και τ ι ς κορυφές Β και Γ πάνω στις f C και g C , αντί στοιχα . Έστω Α ( α ,0) με α > - 1. Δ 1. Να αποδείξετε ότι οι συντεταγμένες του σημείου Γ είναι   1+ α - α -e , e . Δ 2. Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του ορθογωνίου ΑΒΓΔ δίνεται , ως συνάρτηση του α , από τον τύπο - α Ε ( α )= e + α e  Δ 3. Να βρείτε τη θέση τ ου σημεί ου Α για την οποία το εμβαδόν του ορθογωνίου ΑΒΓΔ μεγιστοποιείται . ΟΔΗΓΙΕΣ ( για τους εξεταζομένους ) 1. Στο εξώφυλλο του τετραδίου να γράψετε το εξεταζόμενο μάθημα . Στο εσώφυλλο πάνω - πάνω να συμπληρώσετε τα ατομικά σας στοιχεία . Στην αρχή των απαντήσεών σας να γράψετε πάνω - πάνω την ημερομηνία και το εξεταζόμενο μάθημα . Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο και να μη γράψετε πουθενά στις απαντήσεις σας το όνομά σας . 2. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν . Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέματα δεν θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση . Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα . 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό με μελάνι που δεν σβήνει . 4. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή . 5. Διάρκεια εξέτασης : τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων . 6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης : 11:00 ΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ K ΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ