Μαθηματικά Ομογενών 2023: Θέματα & Λύσεις

ΑΡΧΗ 1 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΤΕΛΟΣ 1 ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙΔΕΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΠΟΥ ΥΠΗΡΕΤΟΥΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ

ΑΡΧΗ 2 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΤΕΛΟΣ 2 ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙΔΕΣ Β 1. Να προσδιορίσετε τη σύνθε τη συνάρτηση h f g   . Αν   4 2 h x x 8x 16, x      : Β 2. Να βρείτε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της h στο σημείο   1, h(1) . Β 3. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα 1 1 h(x)dx     . Β 4. Να υπολογίσετε το όριο 2 2 x h(x) lim (x 2)   . ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η συνάρτηση   f : 0,     με τύπο   1 x x x f   . Γ 1. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα . Γ 2. Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα και να προσδιορίσετε , αν υπάρχουν , τα σημεία καμπής της γραφικής της παράστασης . Γ 3. Να εξετάσετε αν ικανοποιούνται οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο διάστημα 2 3 , 3 2       . Γ 4. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρί ου που περικλείεται από τη γ ρ α φ ι κ ή παράσ τ ασ η τ η ς f , τ ο ν ά ξ ο να x’ x κ α ι τ ι ς ε υ θ ε ίες x 1  κ α ι x e  . ΘΕΜΑ Δ Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται οι γραφικές παραστάσεις f C και g C τ ω ν συναρτήσεων f :    και   g : , 0    με τύπους x f(x) e   και e g(x) x   .

ΑΡΧΗ 3 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΤΕΛΟΣ 3 ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙΔΕΣ Το ορθογ ώνιο ΑΒΓ Δ έχει τις κορυφές Α και Δ πάνω στον άξονα x’ x και τ ι ς κορυφές Β και Γ πάνω στις f C και g C , αντί στοιχα . Έστω Α ( α ,0) με α > - 1. Δ 1. Να αποδείξετε ότι οι συντεταγμένες του σημείου Γ είναι   1+ α - α -e , e . Δ 2. Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του ορθογωνίου ΑΒΓΔ δίνεται , ως συνάρτηση του α , από τον τύπο - α Ε ( α )= e + α e  Δ 3. Να βρείτε τη θέση τ ου σημεί ου Α για την οποία το εμβαδόν του ορθογωνίου ΑΒΓΔ μεγιστοποιείται . ΟΔΗΓΙΕΣ ( για τους εξεταζομένους ) 1. Στο εξώφυλλο του τετραδίου να γράψετε το εξεταζόμενο μάθημα . Στο εσώφυλλο πάνω - πάνω να συμπληρώσετε τα ατομικά σας στοιχεία . Στην αρχή των απαντήσεών σας να γράψετε πάνω - πάνω την ημερομηνία και το εξεταζόμενο μάθημα . Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο και να μη γράψετε πουθενά στις απαντήσεις σας το όνομά σας . 2. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν . Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέματα δεν θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση . Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα . 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό με μελάνι που δεν σβήνει . 4. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή . 5. Διάρκεια εξέτασης : τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων . 6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης : 11:00 ΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ K ΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ