Μαθηματικά Πανελλήνιες 2022: Θέματα & Λύσεις

ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ἃ. ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΔΕΥΤΕΡΑ 6 ΙΟΥΝΙΟΥ 2022

ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑΑ ΑΊ. Έστω Τ µια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστηµα Δ. Αν Ε είναι µια παράγουσα της ἔστο Δ, τότε να αποδείξετε ότι: «όλες οι συναρτήσεις της µορφής Ο(χ)-τΡ(Χ) ο, όπου ος ΤΠ, εἶναι παράγουσες της { στο Δ και «κάθε άλλη παράγουσα Ό της [ στο Δ παίρνει τη μορφή ΟΕ(χ)ὲ Ε(χ) ο, μεοςεῇ].

Α2. Να διατυπώσετε το θεώρημα του Εθτεπιαὶ.

Α3. Πότε η ευθεία Χ-:: Χρ λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης µιας συνάρτησης Τ;

Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση εἶναι σωστή, ή τη λέξη Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Αν θ«α«Ίτότε πι α΄ΞΟ. Χχ-ὸοο β) Αν η συνάρτηση Τ εἶναι συνεχής στο [0,ῆ, παραγωγίσιµη στο (0,1) και Γ(χ)-ε0, για όλα τα Χε (0,1), τότε Γ(0) -«Ι(1). γ). Η συνάρτηση (κ) -σφΧ εἶναι παραγωγίσιμη στο Ί Β, -ᾱ- (Χ[ημχ--0} και ισχύει Γ(χ]Ξ------ - ημ΄Χ ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ

----- δ) Ισχύει ότι γη -----------Ί. χο Χ 1 ε) Αν [ Τρ0 αχ 2 0, τότε κατ’ ανάγκη θα είναι Τ(Χ)2 0, για κάθε χε [α,β].

ΘΕΜΑ Β Δίνεται η συνάρτηση Έ:(--ο,ῇ -» ἲ µε τύπο Τ(χ) -- κ΄-- 2χξ--1 και η συνάρτηση α: [θ,-- 0} --» ὲ µε τύπο α(χ)-᾽νχ. ΒΊ. Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση Η-“[οα-ἔ

Β2. Αν Η(χ)--(χ--Ί) , χε [0,1], να αποδείξετε ότι η συνάρτηση Η είναι "Ί--1" (μονάδες 3) και να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση μΊ της Π (μονάδες ϐ).

Β3. Έστω Π-΄(κ) --Ί---ίχ, χε [0,]. -Ί (50 κε [0.9 Θεωρούμε τη συνάρτηση: φί(χ) 4 1 . | Ξ ,' ΧΞΊ (2 () Να αποδείξετε ὁτι για τη συνάρτηση φ ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος ενδιάμεσων τιµών στο [0,1] . (μονάδες ϐ) ϱ) Να αποδείξετε ὁτι υπάρχει ένα τουλάχιστον ΧρΕ(0,Ί) τέτοιο ώστε π π φ(κρ)ΞΞ ἡµα, όπου Γη α« Ξ- (μονάδες 4)

ΤΕΛΟΣ 2ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ

ΘΕΜΑΓ Δίνεται η συνεχής συνάρτηση Τ:Ιᾶ -»Πὶ, η γραφική παράσταση της οποίας διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Δίνεται ακόμα ὁτι η Τ εἶναι παραγωγίσιµη στο (----,-- 1!) (--1,- οο) και για την παράγωγο Γ' της Γ ισχύει ότι: ρω [-2 ς χ«-Ί Χ)Ξ Η Ίρ-η ,' Χ» --Ί [-2χ-2 , χ«- ή ΓΊ. . Να αποδείξετε ὁτι: {(χ)-- Ε . Χ᾽-Χ , Χ»-Ί

Γ2. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτοµένης (ε) της γραφικής παράστασης της Έ σε σημείο Α(Χρ.Γ(Χς)) µε Χρ 2 --Ί, η οποία τέμνει τον άξονα ΥΎ στο -2.

ΓΔ. Έστω γ-2Χ--2 η εξίσωση της ευθείας (ε) του ερωτήματος Γ2. Ένα σηµείο Μίχ.ν) µε Χ2 2 κινείται κατά μήκος της ευθείας (ε). Έστω ακόμα Ε το εμβαδόν του τριγώνου ΜΚΓ, όπου Κ είναι η προβολή του σημείου Μ στον άξονα ΧΧ και Γ εἶναι το σημείο µε συντεταγμένες (2,0). Τη χρονική στιγµή ' κατά την οποία το σηµείο Μ διέρχεται από το σημείο Β(3.4) ο ρυθµός μεταβολής της τετµημένης του σημείου Μ είναι 2 μονάδες ανά δευτερόλεπτο. Να βρείτε τον ρυθµό μεταβολής του εμβαδού Ε τη χρονική στιγµή ἴς-

[ Τ(χ). Κ-χ Γ4. Να υπολογίσετε το όριο “ΙΓΩ πμῖρ), ΠΚ Ι µ Χο-α| ΠΧ) Ί-κ΄]

ΘΕΜΑΔ Δίνεται η συνάρτηση Γ:(0,:92) - ἳὶ με τύπο: Π(χ)ξ χ--Ιπ(8χ) ΔΊ. ἵ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση {(χ) - 0 έχει ακριβώς δύο ρίζες ΧρΧ,, µε Χι«Ί«Χ,. (µονάδες ϐ) Π) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση { είναι κυρτή. (μονάδες 2)

ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 4ΣΕΛΙΔΕΣ

Στα παρακάτω ερωτήματα, Χ, καὶ Χ, εἶναι ο! ρίζες που αναφέρονται στο

ερώτημα ΔΊ.

Δ2. Αν Ε εἶναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική

παράσταση της συνάρτησης Τ και τον άξονα ΧΧ, να αποδείξετε ὁτι: Ί Ε--(α, -κιλίχι «κ, --Ά) µ

Δ3. Να αποδείξετε ότι: Π{(2--κι)λ«Ο0.

Δ4. Να εξετάσετε αν η εξίσωση: 2[(κ) -- Ιπ -- 1-- Γ(χ, }(χ--κ,) έχει λύση.

ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζοµένους)

1... Στο εξώφυλλο του τετραδίου να γράψετε το εξεταζόµενο µάθηµα. Στο εσώφυλλο πάνω-πάνω να συμπληρώσετε τα ατομικά στοιχεία μαθητή. Στην αρχή των απαντήσεών σας να γράψετε πάνω-πάνω την ηµεροµηνία και το εξεταζόµενο µάθηµα. Να µην αντιγράψετε τα θέµατα στο τετράδιο και να µη γράψετε πουθενά αλλού στο τετράδιό σας το ὀνομά σας.

2. Να γράψετε το ονοµατεπώνυμό σας στο πάνω µέρος των φωτοαντιγράφων αµέσως μόλις σας παραδοθούν. Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέµατα δεν θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε µαζί µε το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα.

3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέµατα µόνο µε µπλε ἡ µόνο µε μαύρο στυλό µε μελάνι που δεν σβήνει. Μολύβι επιτρέπεται, µόνο αν το ζητάει η εκφώνηση, και µόνο για πίνακες, διαγράµµατα κ.λπ.

4. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη εἶναι αποδεκτή.

Β. Διάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες µετά τη διανοµή των φωτοαντιγράφων.

6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: 10.00 π.μ.

ΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 4ΣΕΛΙΔΕΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ

ΣΑΒΒΑΤΟ 10 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2022 ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑΑ ΑΊ. Να αποδείξετε ὁτι, αν µια συνάρτηση ΤΙ εἶναι παραγωγίσιµη σε ένα σηµείο Χρ, Τότε είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό.

ΑΣ. Πότε η ευθεία ΥΞλΧεβ λέγεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης Ί στο ο;

Α3. Να διατυπώσετε το Θεώρημα Μέσης Τιμής (Θ.Μ.Τ.) του Διαφορικού Λογισμού και να το ερμηνεύσετε γεωμετρικά.

Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τΤετράδιό σας, δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τή λέξη Σωστό, αν η πρόταση εἶναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση εἶναι λανθασμένη. α) Αν τη [(χ)20, τότε Τ(χ)2 0 κοντά στο Χρ. Χ-Χο β) Έστω µια συνάρτηση Τ συνεχής στο διάστηµα [α.β]. Αν Π(χ)20, Ρ για κάθε χε[αβ], τότε [ Η(χ)άχ 0. γ) Έστω µια συνάρτηση ΤΓ ορισμένη σε ένα διάστηµα Δ και Χρ ἕνα εσωτερικό σηµείο του Δ. Αν η [ παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο Χρ Καὶ είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο αυτό, τότε "(χρ)Ξ0. δ) ἰσχύει [τη Σο. χο Χ ε) Η συνάρτηση Π(χ]-- Ιπρή, ΧΕ Ε-μ-(ο;, είναι παραγωγίσιµη στο Β΄ και ισχύει: 1 . (πα: για κάθε ΧΕ]. Χ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4ΣΕΛΙΔΕΣ

ΘΕΜΑΡΒ Δίνονται οι συναρτήσεις Ε: (1,--)-»» πὶ µε τύπο πως και χ- σ:(0, ο) -» πὶ µε τύπο σαχ) ΞΙηχ. ΒΊ. Να βρείτε, αν υπάρχουν, τις κατακόρυφες και οριζόντιες ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης ΤΓ.

Β2. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση Τ(κ) - ο(χ) έχει µία, τουλάχιστον, ρίζα στο διάστηµα (ο, 6’).

Β3. Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση φ-αοἳ.

Χ Β4. Δίνεται επιπλέον η συνάρτηση µε τύπο νι." . Αν χ- φ(χ) ΞΞ Ιηχ --Ιη(χ--Ί), Χε (Ί, «-οο), να εξετάσετε αν φΞΗ.

ΘΕΜΑΓ Δίνεται η συνάρτηση Τ:πᾷ -» Τἳ για την οποία ισχύουν: - Η Γείναι δύο φορές παραγωγίσιµη στο [ξ. ο. Τ(χ)--ημχ [η ΟΠΗΣ ϱ. - χο. Χ ο. Γ(χ)Ι"(χ)-ὲ χ. για κάθε χε. Γ1.. |. Να αποδείξετε ότι {(0) “0 και Γ(0) -Ί (μονάδες 4). Η. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της Γ στο σηµείο µε τετµημένη Χρ ΞΌ (µονάδες 2).

ΤΕΛΟΣ 2ΗΣ ΑΠΟ 4ΣΕΛΙΔΕΣ

Γ2. Να αποδείξετε ότι Γ(χ]᾽ψχ΄ 1, χε.

Γ3. Να προσδιορίσετε τα διαστήµατα στα οποία η συνάρτηση ἵ είναι κυρτή ή κοίλη και να βρείτε, αν υπάρχουν, τα σηµεία καμπής της γραφικής της παράστασης.

Γ4. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση Τ εἶναι «Ί-Ί» (μονάδες 2) και στη συνέχεια να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ΕΕ" (µονάδες 5).

ΘΕΜΑΔ Δίνεται η συνάρτηση Τ με [-κ᾿εδχεῖ, -Ίςχ«Ο0 ρ)- 2 | κ. θ«-χ--. ἰ θ ΔΊ. Να αποδείξετε ότι η { είναι συνεχής αλλά µη παραγωγίσιµη στο ΧρΞ.

Δ2. Ἱ. Να βρείτε τα κρίσιμα σηµεία της Γ (μονάδες 3). ΙΙ. Να βρείτε το σύνολο τιµών της Τ (μονάδες 5).

εν . 21. 21 Δ3. Να αποδείξετε ότι για κάθε α,βε «1 Ι υπάρχει ξε «1. Ι τέτοιο θ θ ώστε ςς) -ΕΠΘ- 50)

Ξ 22 11 Δ4. Να αποδείξετε ότι Γ χτ(χ) αχ 2 (--)- -(--)-- 1 [-} 8 θ

ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ

ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζοµένους)

1. Στο εξώφυλλο του τετραδίου να γράψετε το εξεταζόµενο µάθηµα. Στο εσώφυλλο πάνω- πάνω να συμπληρώσετε τα ατοµικά σας στοιχεία. Στην αρχή των απαντήσεών σας να γράψετε πάνω-πάνω την ηµεροµηνία και το εξεταζόµενο µάθηµα. Να µην αντιγράψετε τα θέµατα στο τετράδιο και να µη γράψετε πουθενά στις απαντήσεις σας το όνομά σας.

2. Να γράψετε το ονοµατεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αµέσως µόλις σας παραδοθούν. Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέµατα δεν θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί µε το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα.

3. . Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέµατα µόνο µε µπλε ή µόνο µε μαύρο στυλό µε μελάνι που δεν σβήνει.

4. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή.

Β. . Διάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ὧρες µετά τη διανοµή των φωτοαντιγράφων.

6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: 17:00

ΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ

ΑΡΧΗ 1 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΤΕΛΟΣ 1 ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΠΟΥ ΥΠΗΡΕΤΟΥΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ

ΑΡΧΗ 2 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΤΕΛΟΣ 2 ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ ΘΕΜ Α Β Δ ί νε τ αι η σ υ νάρτ ησ η f : →   μ ε τ ύ πο 3 f(x) x 3x 1. = − + Β1 . Να μ ε λε τή σε τ ε ως προ ς τ η μ ο νο το νί α και τ α ακρό τ ατ α τη σ υ νάρτ η ση f . Μο νάδ ες 6 Β 2 . Να β ρε θεί η ε ξίσ ωσ η τη ς ε φαπτ ο μέ νη ς τ η ς γραφι κή ς παράσ τ ασ η ς τη ς f σ τ ο σ η μεί ο τ η ς με τ ε τμ ημ έ νη 0 x 0. = Μο νάδ ες 6 Β 3 . Να υ πο λο γί σε τε το 2 1 f(x) dx . x Ι = ∫ Μο νάδ ες 7 Β 4 . Να υ πο λο γί σε τε το 3 x f(x) lim . x → +∞ Μο νάδ ες 6 ΘΕΜ Α Γ Δ ί νο ντ α ι οι σ υ ναρτή σ ει ς ( ) f : 1, + ∞ →  μ ε τ ύ πο x f(x) x 1 = − και ( ) g : 0, + ∞ →  μ ε τ ύ πο g(x) lnx. = Γ 1 . Να β ρε ίτ ε , αν υ πάρχο υ ν, τ ι ς κατακό ρυ φε ς και ο ρι ζό ντι ες ασ ύμ πτ ωτε ς τ η ς γραφι κή ς παράσ τ αση ς τη ς σ υ νάρτη σ η ς f . Μο νάδ ες 6 Γ 2 . Να α πο δ εί ξε τε ό τι η ε ξί σ ωση f(x) g(x) = έ χε ι μ ί α, τ ου λάχι στ ο ν, ρί ζα σ τ ο δ ιάσ τη μ α ( ) 2 e, e . Μο νάδ ες 8 Γ 3 . Να προ σ δι ορίσ ετ ε τ η συ νάρτ η σ η φ g f .  = Μο νάδ ες 6

ΑΡΧΗ 3 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΤΕΛΟΣ 3 ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ Γ4 . Δ ί νε τ αι ε πι πλέ ο ν η σ υ νάρτ η ση με τύ πο x h(x) ln . x 1   =   −   Α ν (x) ln x ln(x 1) , x (1, ), ϕ = − − ∈ + ∞ να ε ξ ε τ ά σε τε αν h. ϕ = Μο νάδ ες 5 ΘΕΜ Α Δ Δ ί νε τ αι η σ υ νάρτ ησ η f : →   γι α τ η ν ο ποί α ισ χύ ο υ ν : • Η f εί ναι δ ύο φο ρές παραγ ωγί σιμ η στο .  • x 0 . f(x) x lim 0 x → − ημ = • f (x) f (x) x ′ ′′ = , γι α κάθε x . ∈  Δ 1 . Να α πο δ εί ξε τε ότι f(0) 0 = και f (0) 1. ′ = Μο νάδ ες 8 Δ 2 . Να α πο δ εί ξε τε ότι 2 f (x) x 1 ′ = + , x . ∈  Μο νάδ ες 6 Δ 3 . Να προ σ δι ο ρί σε τε τ α δι αστ ή ματ α σ τ α ο ποί α η συ νάρτ η σ η f ε ί ναι κυρτ ή ή κο ί λη και να β ρεί τε , αν υ πάρχο υ ν, τ α σ ημ εί α καμ πή ς τ η ς γραφι κή ς τ η ς παράσ τ ασ η ς . Μο νάδ ες 6 Δ 4 . Να α πο δ εί ξε τε ότ ι η σ υ νάρτ η ση f ε ίναι « 1 - 1 » (μο νάδ ες 2 ) και στ η σ υ νέ χε ι α να β ρε ίτ ε τ ο πε δί ο ο ρισ μ ού τ η ς σ υ νάρτ η ση ς 1 f − (μο νάδ ε ς 3 ). Μο νάδ ες 5

ΑΡΧΗ 4 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΤΕΛΟΣ 4 ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζομένους) 1. Στο εξώφυλλο του τετραδίου να γράψετε το εξεταζόμενο μάθημα. Στο εσώφυλλο πάνω - πάνω να συμπληρώσετε τα ατομικά σας στοιχεία. Στην αρχή των απαντήσεών σας να γράψετε πάνω - πάνω την ημερομηνία και το εξεταζόμενο μάθημα. Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο και να μη γράψετε πουθενά στις απαντήσεις σας το όνομά σας. 2. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέματα δεν θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση . Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό με μελάνι που δεν σβήνει. 4. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 5. Διάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: 1 7:00 ΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ K ΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ