Μαθηματικά Πανελλήνιες 2024: Θέματα & Λύσεις

ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ἃ. ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΡΙΤΗ 4 ΙΟΥΝΙΟΥ 2024

ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑΑ ΑΊ. Έστω µια συνάρτηση [, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστηµα [α, β]. Αν - η Έ είναι συνεχής στο [α, β] και «' Τ(α) «Τ(β) να αποδείξετε ὁτι για κάθε αριθµό ζ μεταξύ των Τ(α) και Τ(β) υπάρχει ένας, τουλάχιστον, ΧρΕ (α. β) τέτοιος ώστε Γ(χολ ζ.

Α2. Έστω µια συνάρτηση Τ συνεχής σ᾿ ένα διάστηµα Δ και παραγωγίσιµη στο εσωτερικό του. Δ. Πότε λέµε ότι η συνάρτηση Τ στρέφει τα κοίλα προς τα άνω ή είναι κυρτή στο Δ;

ΑΔ. Να διατυπώσετε το Θεμελιώδες Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού.

Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση εἶναι λανθασμένη. α) Αν Γ,σ εἶναι δύο συναρτήσεις µε πεδία ορισμού ΑΒ αντίστοιχα, τότε η σύνθεση της [ µε τη 4, δηλαδή η συνάρτηση Φοῖ, ορίζεται αν Π(Α)ΠΒ-δ. β) Ισχύει ότι ]ημα|«᾿|χ]. για κάθε χε. 1 γ). Ισχύει (σφχ) --------, ΧεΕ π-(χΙ ημχ--0).. ημΧ δ) Για κάθε συνάρτηση ισχύει ότι το μεγαλύτερο από τα τοπικά της μέγιστα είναι το ολικό της μέγιστο. ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ

ε) Έστω Τ µια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστηµα [α ᾽ β]. Αν Τ(χ)20 β για κάθε χε[α.β]. τότε [ (κ) αχδθ. α Μονάδες Ί10 ΘΕΜΑ Β Δίνονται οι συναρτήσεις ο:[1 ᾽ το) -ὶ με τύπο α(χ)-νκε ο. ψχ και Η:[1,-ε-σο) -- πε με τύπο 1 πρὸ -Ξύχ-----. ψχ ΒΊ. Να προσδιορίσετε τις συναρτήσεις τ-ϕᾗ κα ΓΞο-Η.

Για τα παρακάτω ερωτήματα να θεωρήσετε ότι χεΊ 1 Π)Ξ--οο.0,κ»Ί καὶ Γ(χ]ασχ---,Χ2Ί. χ-Ί Χ Β2. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση Έ αντιστρέφεται (µονάδες 2) και ότι Γ-’ --Ι (μονάδες 5), όπου Τ΄΄ είναι η αντίστροφη συνάρτηση της Γ.

Β3. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης Γ.

2 Β4. Να λύσετε την εξίσωση (Γ-(ΟΟ)) πΞΊ-4γ(χ).

ΘΕΜΑΓ Δίνεται η συνεχής συνάρτηση -ὀχεάή νο”, 0-χ«2 ω- ; | -κἂ-αἀχ-δτμλ, ΧΣ2, μελεῇ]ῖ. ΓΊ.. Να αποδείξετε ότι λ--Ο.

ΤΕΛΟΣ 2ΗΣ ΑΠΟ 4ΣΕΛΙΔΕΣ

Γ2. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση Τ είναι γνησίως μονότονη και στη συνέχεια να βρείτε, αν υπάρχουν, τα ακρότατά της.

ΓΔ. ἢ Να εξετάσετε αν η συνάρτηση Τ. ικανοποιεί τις υποθέσεις του Θεωρήματος Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού στο διάστηµα [ο.5]. (μονάδες 4) η) Να βρείτε, αν υπάρχει, ξε (0,3) τέτοιο ὥστε η εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της Τ στο σημείο Γ(Ε ἥ ΠΕ) να είναι παράλληλη στην ευθεία που διέρχεται από τα σηµεία Δ(ο, Π(0)) και Ε(5, ΤΠ 5)). (μονάδες 4)

Γ4. Κινητό σημείο Μ ξεκινά από το σηµείο Α(2.6) και κινείται κατακόρυφα προς τα πάνω µε σταθερή ταχύτητα υπ Ό,δ µονάδες μήκους το δευτερόλεπτο. Αν Ο είναι η αρχή των αξόνων, να υπολογίσετε τον ρυθµό µε τον οποίο αυξάνεται η γωνία ὠΞΑΟΜ τη χρονική στιγµή κατά την οποία το κινητό σηµείο Μ θα συναντήσει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης Γ{.

ΘΕΜΑΔ Έστω η συνάρτηση { -(ο, το) - Ηὶ με τύπο ΙηΧ :- αχ ΤρὩο5-----ο. Χ όπου αε ὲ. , . µ Ἰ 11 Δίνεται ότι το σύνολο τιµών της ἔ είναι το (ο, εω))- πο, 1-4]; θ ΔΊ. Να αποδείξετε ότι αΞΊ.

ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 4ΣΕΛΙΔΕΣ

Δ2. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση [(χ)-- 0 έχει μοναδική ρίζα, Χρ, η οποία 1 ανήκει στο διάστηµα ( 1]

Δ3. Ί) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση {(χ)-Ξ (4) έχει δύο ακριβώς λύσεις, τις Χ,ιΞ2 και Χ,-4. (μονάδες 3) ΙΙ) Να λύσετε την ανίσωση 2, κὁ στο διάστηµα (ο, ελ). (μονάδες 5)

ΔΑ. Δίνεται επιπλέον η συνάρτηση Φα: -» ἲ µε τύπο 1--Χ ο(χ)- (6")------ Θ Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου Ω που βρίσκεται ανάμεσα στις ευθείες Χ-:-- Ιπ2 και ΧΞΞΌ, καὶ περικλείεται από αυτές, τον άξονα Χ΄Χ και τη γραφική παράσταση της συνάρτησης 0.

ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζοµένους / τις εξεταζόµενες)

1... Στο εξώφυλλο του τετραδίου να γράψετε το εξεταζόµενο µάθηµα. Στο εσώφυλλο πάνω-πάνω να συμπληρώσετε τα ατομικά στοιχεία μαθητή. Στην αρχή των απαντήσεών σας να γράψετε πάνω-πάνω την ηµεροµηνία και το εξεταζόµενο µάθηµα. Να µην αντιγράψετε τα θέµατα στο τετράδιο και να µη γράψετε πουθενά αλλού στο τετράδιό σας το όνομά σας.

2. Να γράψετε το ονοµατεπώνυμό σας στο πάνω µέρος των φωτοαντιγράφων αµέσως μόλις σας παραδοθούν. Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέµατα δεν θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε µαζί µε το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα.

3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέµατα µόνο µε µπλε ἡ µόνο µε μαύρο στυλό µε μελάνι που δεν σβήνει. Μολύβι επιτρέπεται, µόνο αν το ζητάει η εκφώνηση, και µόνο για πίνακες, διαγράµµατα κ.λπ.

4. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή.

Β. Διάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες µετά τη διανοµή των φωτοαντιγράφων.

6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: 10.00 π.μ.

ΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 4ΣΕΛΙΔΕΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ

ΤΡΙΤΗ 10 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2024 ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α1. Έστω η συνάρτηση Π(χΧ)᾽Ί᾽Χχ, Χεῖ. Να αποδείξετε ότι η Τ εἶναι παραγωγίσιµη στο Τἲ και ισχύει Γ(χ)--Ί.

Α2. Πότε µια συνάρτηση Τ λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστηµα Δ του πεδίου ορισμού της;

Α3. Να διατυπώσετε το Θεώρημα Μέγιστης και Ελάχιστης Τιμής.

Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, Τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. Η 1 α) Ισχύει ότι Ππη(χημ-)ΞΟ χ-οΟ. Χ β) Κάθε συνάρτηση !Τ διατηρεί πρόσημο σε καθένα από τα διαστήµατα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της χωρίζουν το πεδίο ορισμού της. γ) Η. συνάρτηση "χ)-χ”, αεξ-Ζ εἶναι παραγωγίσιµη στο (0, -- οο) και ισχύει ότι Γ(χ)-- αχδ-'. δ) Αν η συνάρτηση Τ[ εἶναι συνεχής σε διάστηµα Δ καα,βγεΔ, β γ β τότε ισχύει [τω άχ-- [τω ὀχε [έν αχ. α α γ ε) Αν [Γη [(χ) « 0, τότε [(χ) « 0 κοντά στοχ.. Χ-ΣΧο,

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ

ΘΕΜΑΒ Δίνεται η συνάρτηση Τ:(0, ο) -»Ιἲ µε τύπο [(χ)-- 2Ιηχ--Ί και η συνάρτηση α:ῑξ-»Η μετύπο ο(χ)᾽Χ-2. ΒΊ. Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση ΗΞ[οα.ἔ

Αν Η(χ)Ξ 2Ιπ(χ--2)-1, χ»2, τότε: Β2. Να µελετήσετε τη συνάρτηση Η ως προς την κυρτότητα.

Β3. Να δείξετε ότι η συνάρτηση Η αντιστρέφεται (μονάδες 3) και να βρείτε την αντίστροφή της Η΄’ (μονάδες 4).

χα] Β4. Αν μ΄) - 24282 , χε, να εξετάσετε αν ικανοποιούνται οι υποθέσεις του θεωρήματος ΗΕο!!Ιθ για τη συνάρτηση φ(χ)-(α-᾽Ον) --ᾱ)- (ο --ϐ) στο[-Ί.,2].

ΘΕΜΑΓ Δίνεται η παραγωγίσιµη συνάρτηση Τ με [ 6"''ελχ, χ«-Ί ΗΧ)Ξί αχτα , όπου αΣΊ καὶ λε ἃ ᾖ-πΏ---οε.. Χ2 -Ί ἰ Χχεα Γ1.. Να αποδείξετε ότι λ--Ί.

Γ2. Να αποδείξετε ότι Ι-- 2 (μονάδες 5) και στη συνέχεια να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης Έ στο σηµείο Α(--Ί, 0) (µονάδες 3).

ΤΕΛΟΣ 2ΗΣ ΑΠΟ 4ΣΕΛΙΔΕΣ

ΓΔδ. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης Τ{ -.

Γ4. Να αποδείξετε ότι: Π(ηµχ --2) Σ Ζημχ-2 ,γιακάθεχε κ.

ΘΕΜΑ Δ π Δίνονται οι συναρτήσεις Τ 9:(0, φ1-2ἃ για τις οποίες ισχύει: 2 , π ".{ᾖ60Χ)--σ(ν)| « (Χ--Υ) για κάθε χ.γε (0, ] π -᾿'᾿Ο(χ)- Γ(χ) ηµχ ,για κάθε χε (0Ο, 51 «2. 4 ΔΊ. Να αποδείξετε ότι: ἩΠ. ) η συνάρτηση ϐ εἶναι σταθερή γιακάθεχε (0, Ζῖ- () 1 Π).. ο τύπος της συνάρτησης Ί εἶναι ἕ(χ) -------. ηµχΧ ()

ΔΖ2. Να δείξετε ότι η συνάρτηση Τ είναι «Ί-Ί» (μονάδες 3) και να βρείτε το σύνολο τιµών της (μονάδες 3).

Δ3. Να δείξετε ότι η εξίσωση μ π Πω]-2 ἴ ω2--- ππ -ἠςτγὰὃὸ(Χῦύῦ-0,µεαε(- 5) κ.Π χ-ν2 6 2 4 π έχει ακριβώς µία ρίζα στο ς :ν2).

ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 4ΣΕΛΙΔΕΣ

Δ4. 1) Να δείξετε ότι η συνάρτηση 1 1 π Η(κ) Ξ --- Ιη(Ί--συνκ) ---- Ιπ(Ί--συνχ), χε (0, --] 2 2 2 Χ π είναι µια παράγουσα της συνάρτησης Η(χ)-- σ---- στο (Ο, --]. 1--συν΄χ 2 () Π) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης Τ και τις ευθείες γ- 2 χα Ξ κα Χξϱ-τ. 2 (Μονάδες ϐ)

ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζοµένους)

1... Στο εξώφυλλο του τετραδίου να γράψετε το εξεταζόµενο µάθηµα. Στο εσώφυλλο πάνω-πάνω να συμπληρώσετε τα ατομικά σας στοιχεία. Στην αρχή των απαντήσεών σας να γράψετε πάνω-πάνω την ημερομηνία και το εξεταζόµενο µάθηµα. Να µην αντιγράψετε τα θέµατα στο τετράδιο και να µη γράψετε πουθενά στις απαντήσεις σας το ὀνομά σας.

2. Να γράψετε το ονοµατεπώνυμό σας στο πάνω µέρος των φωτοαντιγράφων αµέσως μόλις σας παραδοθούν. Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέµατα δεν θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί µε το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα.

3. . Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέµατα µόνο µε µπλε ή µόνο µε μαύρο στυλό µε μελάνι που δεν σβήνει.

4. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή.

Β. Διάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες µετά τη διανοµή των φωτοαντιγράφων.

6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: 17:00

ΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 4ΣΕΛΙΔΕΣ

ΑΡΧΗ 1 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΤΕΛΟΣ 1 ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙΔΕΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΠΟΥ ΥΠΗΡΕΤΟΥΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ

ΑΡΧΗ 2 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΤΕΛΟΣ 2 ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙΔΕΣ ΘΕΜΑ Β Δίνεται η συνάρτηση f : (0 , )     με τύπο f(x) 2ln x 1   και η συνάρτηση g :    με τύπο g(x) x 2   . Β 1. Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση h f g   . Αν h(x) 2ln( x 2) 1, x 2     , τότε : Β 2. Να βρείτε τις πραγματικές τιμές του x για τις οποίες η γραφική παράσταση της συνάρτησης h βρίσκεται πάνω από την ευθεία y 1  . Β 3. Να δείξετε ότι η συνάρτηση h αντιστρέφεται ( μονάδες 3) και να βρείτε την αντίστροφή της 1 h  ( μονάδες 4). Β 4. Αν x 1 1 2 h (x) 2 e , x       , να εξετάσετε αν ικανοποιούνται οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle για τη συνάρτηση 1 3 (x) (h (x) 3) (x 8)       στο [ 1 , 2]  . ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η συνάρτηση f : [0 , 3]   με τύπο x x f(x) e  . Γ 1. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως π ρ ος την μονοτονία και τα ακρότατα ( τοπικά και ολικά ). Γ 2. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής . Γ 3. Μ ε βάση τα ερωτήματα Γ 1 και Γ 2, να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση f . Γ 4. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρί ου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f , τον άξ ονα των x και τι ς ευθείες x 0  και x 1  .

ΑΡΧΗ 3 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΤΕΛΟΣ 3 ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙΔΕΣ ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f με x 1 e λ x, x 1 f(x) α x α , x 1 x α               , όπου α 1  και λ   Δ 1. Να αποδείξετε ότι λ 1  . Δ 2. Να αποδείξετε ότι α 2  ( μονάδες 5) και στη συν έχεια να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτηση ς f στο σημ είο Α ( 1, 0)  ( μονάδες 3). Δ 3. Να βρείτε τις ασύμπτ ωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f . Δ 4. Να αποδείξετε ότι : f( ημ x 2) 2 ημ x 2    , γι α κάθε x   . ΟΔΗΓΙΕΣ ( για τους εξεταζομένους ) 1. Στο εξώφυλλο του τετραδίου να γράψετε το εξεταζόμενο μάθημα . Στο εσώφυλλο πάνω - πάνω να συμπληρώσετε τα ατομικά σας στοιχεία . Στην αρχή των απαντήσεών σας να γράψετε πάνω - πάνω την ημερομηνία και το εξεταζόμενο μάθημα . Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο και να μη γράψετε πουθενά στις απαντήσεις σας το όνομά σας . 2. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν . Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέματα δεν θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση . Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα . 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό με μελάνι που δεν σβήνει . 4. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή . 5. Διάρκεια εξέτασης : τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων . 6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης : 17:00 ΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ K ΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ