Μαθηματικά Πανελλήνιες 2021: Θέματα & Λύσεις

ΗΜΕΡΗΣΙΟΩΝ ΚΑΤΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ

ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ἃ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΕΤΑΡΤΗ 1Β ΙΟΥΝΙΟΥ 22!

ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑΑ ΑΊ. Έστω µια συνάρτηση Γ η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα Δ. Να αποδείξετε ότι αν Ι[χ)ἢ σε κάθε εσωτερικό σηµείο χ του Δ, τότε η ΈΕ εἶναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ. Μονάδες Ἰ Α7. Να διατυπώσετε το κριτήριο παρεμβολής. Μονάδες ἆ Α3. Πότε δύο συναρτήσεις Γ-και η λέγονται ίσες; Μονάδες ἆ Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, Τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση εἶναι σωστή, ή τη λέξη Λάθος, αν η πρόταση εἶναι λανθασμένη. α) Ισχύει ]ημχ]« |]. για κάθε χε". β) Για οποιαδήποτε αντιστρέψιµη συνάρτηση Ι µε πεδίο ορισμού Α ισχύει ότι ῄ- ω)-κ. για κάθε χε. ν) Αν πι (κ) 2 ῇ, τότε Πχ)» κοντά στο Χη. Χ-ΣΧΗῃ δ) Έστω µια συνάρτηση Ι συνεχής σε ἑνα διάστηµα Δ και δυο φορές παραγωγίσιµη στο εσωτερικό του Δ. Αν ["(χ)»ῆ για κάθε εσωτερικό σημείο κ του Δ, τότε η [ εἶναι κυρτή στο Δ. ε) Αν η : είναι συνεχής συνάρτηση στο [α,β], τότε η ἵ παίρνει στο [α,β] µια μέγιστη τιμή, Μ, καὶ µια ελάχιστη τιµή, Γη. Μονάδες !ῇ ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4ΣΕΛΙΔΕΣ

ΗΜΕΡΗΣΙΟΩΝ ΚΑΤΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΘΕΜΑΒ Δίνεται η συνάρτηση Τ: Ὦ -» Ὦ για την οποία ισχύει ότι (χε!) Ξ(χεε!)-ε-ᾱ, για κάθε χε. ΒΊ. Να δείξετε ότι [(χ) -χ- εἰ χε.

Β2. Να µελετήσετε τη συνάρτηση Γ ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.

Βἄ. Να μελετήσετε τη συνάρτηση Ι ως προς την κυρτότητα, τα σηµεία καμπής και να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής της παράστασης, αν υπάρχουν Μονάδες ἃ Βή. Να βρείτε (0. το σύνολο τιµών της συνάρτησης { (μονάδες 4). (ΙΙ) το πλήθος των ριζών της εξίσωσης Πα) Ξλ, για τις διάφορες τιµές του λε Ιἳ (μονάδες 3).

ΘΕΜΑΓ [ αχ" «ἀχζ-χαὶ. χεη Δίνεται η συνάρτηση {|(χ) ή π.. µε α«-ᾱ- | συνχ, Ποχ«-- ἰ Π ΓΙ... Να δείξετε ότι η συνάρτηση ΙΓ εἶναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της (μονάδες ἃ) αλλά µη παραγωγίσιµη στο Χηῃ Ξ ἢ (µονάδες 3). Μονάδες Β ΓΣ. (Να εξετάσετε αν η συνάρτηση Γ ικανοποιεί καθεµιά από τις προὐποθέσεις του θεωρήματος ἵ π!Ιε στο [η (µονάδες 3). ΜΗ ᾽ , ὅπ µ µ (1). Να βρεθεί το μοναδικό ξε ἃ--- για το οποίο ισχύει Ι(ξ) -ῇ (µονάδες 3). Μονάδες ΗΒ Γᾶ.. Να δείξετε ότι στη γραφική παράσταση της συνάρτησης [ δεν υπάρχουν σηµεία µε αρνητική τετµηµένη στα οποία η εφαπτομένη της εἶναι παράλληλη στον άξονα Χ΄χ Μονάδες Β ΤΕΛΟΣ 2ΗΣ ΑΠΟ 4ΣΕΛΙΔΕΣ

ΗΜΕΡΗΣΙΟΩΝ ΚΑΤΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ κο . ὑπ] Γά... Να δείξετε ότι [(χ) 2 -᾿Ι, για κάθε χε]--ο, ΤΝ Μονάδες Ἰ ΘΕΜΑΔ ΔΊ. Να δείξετε ότι η εξίσωση Ι ἐπηχΞτε- (1) Χ έχει μοναδική ρίζα, Χῃιη οποία ανήκει στο (1, ϐ).-

Στα παρακάτω ερωτήματα να θεωρήσετε ότι το Χῃ είναι η μοναδική ρίζα της εξίσωσης. (Ί) κα. η συνάρτηση Γ-(Β.-ο͵) -» πὶ έχει. τύπο Πω (εν χρλ-Οαῖ)--Λυχ-ήΙ . Δ2. Να δείξετε ότι η συνάρτηση [ παρουσιάζει ελάχιστο στο Χῃ το Πχ )Ξῆ. Μονάδες Β Δδἐ. Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων χΗ -Χ Σῃ αίχ)αΈχ-α-'. χε] και ἠΗ(χ)]Ξξ]-' .χεῖ Ε έχουν ένα µόνο κοινό σηµείο, στο οποίο έχουν και κοινή εφαπτομένη. Μονάδες ἃ Δ4. Έστω η συνάρτηση φ:(Ώ-ο) -» πὶ, συνεχής, µε ἰ(κ)»φίχ). για κάθε χ5ῆ. Θεωρούμε τα σηµεία ἡ (χ.Ι(κ)} και ἢ(χιφίν), µε κ». Αν η απόσταση των σημείων ΑΛ Καὶ Βγίνεται ελάχιστη στο ΞΧῃ. να δείξετε ότι το Χῃ είναι κρίσιμο σηµείο της συνάρτησης φ Μονάδες Ἰ ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 4ΣΕΛΙΔΕΣ

ΗΜΕΡΗΣΙΟΩΝ ΚΑΤΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζοµένους)

1. Στο εξώφυλλο του τετραδίου να γράψετε το εξεταζόµενο µάθηµα. Στο εσώφυλλο πάνω-πάνω να συμπληρώσετε τα ατομικά στοιχεία μαθητή. Στην αρχή των απαντήσεών σας να γράψετε πάνω-πάνω την ηµεροµηνία και το εξεταζόµενο µάθηµα. Να µην αντιγράψετε τα θέµατα στο τετράδιο και να µη γράψετε πουθενά αλλού στο τετράδιό σας το ὀνομά σας.

2. Να γράψετε το ονοµατεπώνυμό σας στο πάνω µέρος των φωτοαντιγράφων αµέσως µόλις σας παραδοθούν. Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέµατα δεν θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί µε το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα.

ᾱ. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέµατα µόνο µε µπλε ἡ µόνο µε μαύρο στυλό µε μελάνι που δεν σβήνει. Μολύβι επιτρέπεται, µόνο αν το ζητάει η εκφώνηση, και µόνο για πίνακες, διαγράµµατα κ.λπ.

4, Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή.

Ἀ. Διάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες µετά τη διανοµή των φωτοαντιγράφων.

Β. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: Ί0.Π0 π.μ.

ΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ Κ ΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 4ΣΕΛΙΔΕΣ

ΑΡΧΗ 1 ΗΣ ΣΕΛΙ∆ΑΣ ΗΜΗΡΕΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΤΕΛΟΣ 1 ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ∆ΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ

ΑΡΧΗ 2 ΗΣ ΣΕΛΙ∆ΑΣ ΗΜΗΡΕΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΤΕΛΟΣ 2 ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ∆ΕΣ ΘΕΜΑ Β Δίνεται η συνάρτηση f : (1, ) +∞ → \ με τύπο 1 f(x) 1 x = − και η συνάρτηση [ ) g : 0, +∞ → \ με τύπο g(x) x = . Β 1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f αντιστρέφεται και ότι η αντίστροφή της είναι η συνάρτηση 2 1 x 1 f (x) , x<0 x − − ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . Β 2. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση 1 h g f − = D είναι η x 1 h(x) , x<0 x − = . Β 3. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνά ρτηση ς h του ερωτήματος Β 2. Β 4. Να υπο λογίσετε το όριο x 0 h(x) 1 lim e x − → − ⎛ ⎞ ⋅ ημ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , όπου h είναι η συνάρτηση του ε ρωτήματος Β 2. ΘΕΜΑ Γ Κυκλική λίμνη έχει κέντρο Ο και ακτίνα R=1km. Ένας μαθητή ς μπορεί να κωπηλατεί με σταθερή ταχύτητα v 1 = 2km/h και μπορεί να βαδίζει με σταθερή ταχύτητα v 2 = 4km/h. Ο μαθητής θέλ ει να κάνει μια βόλτα στη λίμνη , ξεκινώντας από το ση μείο Α του σχ ήματος και καταλήγοντας στο αντιδιαμετρικό του σημεί ο Β . Ο μαθητής μπορεί : Ι . Να συνδ υάσει κωπηλασία και βάδισμα , κωπηλατώντας ευθύγραμμα από το σημείο Α σε σημείο Γ της περιφέρειας της λίμνης , τέτοιο ώστε η γωνία l ΒΟ Γ , (0, ) = θ θ ∈ π και στη συνέχεια να βαδίσει κατά μήκος του τόξου ΓΒ , όπως φαίνεται στο σχήμα . Ι Ι . Να κωπηλατήσει ευθύγραμμα από το σημείο Α στο ση μείο Β ( ) 0 θ = . Ι Ι Ι . Να βαδίσει στην περιφέρεια της λίμνης από το Α στο Β ( ) θ = π .

ΑΡΧΗ 3 ΗΣ ΣΕΛΙ∆ΑΣ ΗΜΗΡΕΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΤΕΛΟΣ 3 ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ∆ΕΣ Γ 1. Να αποδείξετε ότι ο χρόνος ( σε ώρες ) που χρειάζεται , γι α να διανύσει την παραπάνω διαδρομή , ω ς συνάρτ ηση της γωνίας θ ( σε ακτίνια ) εί ναι 1 t( ) , θ [0, ] 4 2 θ θ = θ + συν ∈ π . Δίνεται ότι σε έναν κύκλο ακτίνας R το μήκο ς S ενός τόξου π ο υ αντιστοιχεί σε επίκεντρη γωνία θ ( σε ακτίνια ) είναι S R = ⋅ θ . Γ 2. Να βρείτε την τιμή της γωνίας θ ώστε ο χρόνος της βόλτας τ ο υ μαθητή να γίνεται μέγιστος . Γ 3. Σε ποια από τις επι λογές ( Ι ), ( ΙΙ ) ή ( ΙΙΙ ) ο χρόνος μετ άβασης από τ ο σημείο Α στο σημ είο Β είν αι ο ελάχιστος δ υν α τ ό ς ; Να δικαιολογήσετε πλήρως την απάντησή σας . ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η συνάρτηση f : → \ \ με τύπο x f(x) e = και συνάρτηση g : → \ \ με τύπο 2 g(x) x x , = − + α α ∈ \ , για την οποία το όρι ο ( ) x lim g(x) x →+∞ − + α υπάρχει στο \ . Δ 1. Να αποδείξετε ότι 1 α = − . Δ 2. Να αποδείξετε ότι η μοναδική εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συν άρτησης f που διέρχεται από το σημείο Μ (-1,0) είναι η ευθεία ε : y = x + 1 ( μονάδες 3). Στη συν έχεια , να αποδείξετε ότι η ευθεία ( ε ) εφάπτεται και στη γραφική παράσταση της συνάρτησης g ( μονάδες 3).

ΑΡΧΗ 4 ΗΣ ΣΕΛΙ∆ΑΣ ΗΜΗΡΕΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΤΕΛΟΣ 4 ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ∆ΕΣ Δ 3. Να αποδείξετε ότι f(x) g(x) > , γι α κάθε x ∈ \ . Δ 4. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση : ( ) ( ) ( ) { } f x 1 x f x g x 0 , k 1 x k x k 1 − − − + = ∈ − − − − \ έχει μία τουλάχι στον ρίζα στο διάστημα (k, k+1). ΟΔΗΓΙΕΣ ( για τους εξεταζομένους ) 1. Στο εξώφυλλο του τετραδίου να γράψετε το εξεταζόμενο μάθημα . Στο εσώφυλλο πάνω - πάνω να συμπληρώσετε τα ατομικά σας στοιχεία . Στην αρχή των απαντήσεών σας να γράψετε πάνω - πάνω την ημερομηνία και το εξεταζόμενο μάθημα . Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο και να μη γράψετε πουθενά στις απαντήσεις σας το όνομά σας . 2. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν . Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέματα δεν θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση . Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα . 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό με μελάνι που δεν σβήνει . 4. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή . 5. Διάρκεια εξέτασης : τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων . 6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης : 17:00 ΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ K ΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ

ΑΡΧΗ 1 ΗΣ ΣΕΛΙ∆ΑΣ ΤΕΛΟΣ 1 ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙ∆ΕΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΠΟΥ ΥΠΗΡΕΤΟΥΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ

ΑΡΧΗ 2 ΗΣ ΣΕΛΙ∆ΑΣ ΤΕΛΟΣ 2 ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙ∆ΕΣ ΘΕΜΑ Β Δίνεται η συνάρτηση f : (1, ) +∞ → \ με τύπο 1 f(x) 1 x = − και η συνάρτηση [ ) g : 0, +∞ → \ με τύπο g(x) x = . Β 1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f αντιστρέφεται και ότι η αντίστροφη της είναι η 2 1 x 1 f (x) , x<0 x − − ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . Β 2. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση 1 g f − D είναι η x 1 h(x) , x<0 x − = . Β 3. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνά ρτηση ς h του ερωτήματος Β 2. ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η συνάρτηση f : (0, ) +∞ → \ με τύπο n x f(x) x = A . Γ 1. Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα . Γ 2. Να μελετηθεί η f ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής . Γ 3. Να βρεθεί το σύνολο τιμών της συνά ρτησης f . Γ 4. Να βρεθεί το πλήθος τ ων ριζών της εξίσωσης f(x) k = για τις διάφορες πραγματι κές τιμές του k . ΘΕΜΑ Δ Δίνονται f,g : → \ \ με τύπους x 2 f(x) e , g(x) x x = = − − . Δ 1. Να αποδείξετε ότι η μοναδική εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συν άρτησης f που διέρχεται από το σημείο Μ (-1,0) είναι η ευθεία ε : y = x + 1 .

ΑΡΧΗ 3 ΗΣ ΣΕΛΙ∆ΑΣ ΤΕΛΟΣ 3 ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙ∆ΕΣ Δ 2. Να αποδείξετε ότι η ευθεία ( ε ) του ερωτήματος Δ 1 εφάπτεται και στη γραφική παράσταση της συνάρτησης g. Δ 3. Να αποδείξετε ότι f(x) g(x) > , γι α κάθε x ∈ \ . ΟΔΗΓΙΕΣ ( για τους εξεταζομένους ) 1. Στο εξώφυλλο του τετραδίου να γράψετε το εξεταζόμενο μάθημα . Στο εσώφυλλο πάνω - πάνω να συμπληρώσετε τα ατομικά σας στοιχεία . Στην αρχή των απαντήσεών σας να γράψετε πάνω - πάνω την ημερομηνία και το εξεταζόμενο μάθημα . Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο και να μη γράψετε πουθενά στις απαντήσεις σας το όνομά σας . 2. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν . Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέματα δεν θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση . Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα . 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό με μελάνι που δεν σβήνει . 4. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή . 5. Διάρκεια εξέτασης : τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων . 6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης : 17:00 ΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ K ΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ