Μαθηματικά Πανελλήνιες 2025: Θέματα & Λύσεις

ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ἃ. ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΔΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2025

ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑΑ ΑΊ. Έστω ΤΓ µια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστηµα Δ. Αν Ε εἶναι µια παράγουσα της [ στο Δ, τότε να αποδείξετε ότι: ς όλες οἱ συναρτήσεις της µορφής Ο(χ)᾽ Ε(χ]πο, οςεῇ]ὶ, εἶναι παράγουσες της [ στο Δ και ς Κάθε άλλη παράγουσα ΩΏ της Τ στο Δ παίρνει τη µορφή ΟΘ(κ) Ε(κ) ο, για κάποιο οε

Α2. Να διατυπώσετε το Θεώρημα Ενδιάµεσων Τιμών.

ΑΔ. Πότε η ευθεία ΧΞΧρ λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης µιας συνάρτησης Τ;

Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ἡ Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Έστω Τ:Α-»Τ µια συνάρτηση η οποία είναι “1-1”. Το πεδίο ορισμού της αντίστροφης συνάρτησης, ΡΕ της [ είναι το σύνολο τιµών της {. β) Αν Τ.α.Π είναι τρεις συναρτήσεις και ορίζεται η πο(αοῦ), τότε ορίζεται και η (πο) οἳ και ισχύει Πο((ο)--(ποϱ) οζ. ᾽ 1 γ) Αν νε Ν", ισχύει ότι ΙΠη --ο-Ξ-ο χ-ο0” Χ δ) Αν µια συνάρτηση είναι κυρτή σε ένα διάστηµα Δ, τότε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της { σε κάθε σηµείο του Δ βρίσκεται «πάνω» από τη γραφική της παράσταση, µε εξαίρεση το σημείο επαφής τους. ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ

ε) Αν η συνάρτηση Φ είναι παραγωγίσιµη στο Χρ Και η συνάρτηση Έ είναι παραγωγίσιµη στο α(χρ) . τότε η συνάρτηση Το εἶναι παραγωγίσιµη στο Χρ Και ισχύει (Τσ) (χο) --Γ(σ(κ.))-σ (χι) .

ΘΕΜΑ Β Δίνεται η συνάρτηση {:1ξ -» ἳ µε ἔ(χ)-- κ. γαχ΄ εθχ--8, όπου αεξ. Δίνεται ακόμα ότι η συνάρτηση Τ παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο σηµείο Χρ ΞΊ. ΒΊ. Να βρείτε την τιµή του α.

Στα ερωτήματα Β2 έως Β4ά να θεωρήσετε ότια-Θθ. Β2. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ΤΟ ΞΞ Ό έχει τρεις θετικές πραγματικές ρίζες.

Β3. Να μελετήσετε τη συνάρτηση Γ ως προς την κυρτότητα και τα σηµεία καμπής.

Β4. Έστω α(χ)- κ-εΤ(κ), χε]. Αν ἕξεῖἃ, να αποδείξετε ὁτι οἱ εφαπτόµενες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων Τ και 9] στα σηµεία α(ε.π(ε) και Β(ε.σ(Ξ)). αντίστοιχα, τέμνονται πάνω στον άξονα ΥΎ΄.

ΘΕΜΑΓ Δίνεται η συνάρτηση τω [οημχ , Χ«Ο Χ)ε ἑνότα ,'Χ20 ΓΙ. . Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση Τ εἶναι συνεχής στο Χρ Ξ 0 (µονάδες 2) αλλά όχι παραγωγίσιµη στο Χρ (µονάδες 4).

ΤΕΛΟΣ 2ΗΣ ΑΠΟ 4ΣΕΛΙΔΕΣ

Γ2. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης ΤΓ.

Γ3δ. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης Τ τέμνει την 1 ευθεία ε)γ-χὲν σε ἑνα τουλάχιστον σηµείο µε τετµημένη ξε (-π. 0).

Γ4. Ένα κινητό Μ ξεκινά από την αρχή των αξόνων και κινείται κατά μήκος της καμπύλης γΞξΓ(κ). ΧΣ2 0, ώστε ο ρυθµός μεταβολής της τετµημένης Χ του Μ, Χ 1) , να είναι θετικός για κάθε 520. Να εξετάσετε εάν υπάρχει Χρονική στιγµή 2 0 τέτοια ώστε ο ρυθµός μεταβολής της τεταγµένης γ του Μ να είναι ίσος µε τον ρυθµό μεταβολής της τετµημένης Χ του Μ.

ΘΕΜΑ Δ Θεωρούμε µια παραγωγίσιµη συνάρτηση Γ:(ο, το) “2 ὶ και µια παράγουσα, Ε, της [ στο (0,--') για τις οποίες ισχύει ότι: κ[(χ) Ξ2Ε(χ]ηχ , για κάθε χ»ΣΟ0. Δίνεται ακόμα ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης Τ στο σηµείο Μ(, (9) είναι παράλληλη στην ευθεία (ε):Υ Ξ2Χ. ν ” Ε(ν) π , ΔΊ. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ο(χ)----ς , ΧΣΟ , εἶναι σταθερή. Χ

᾽ ΝΤ Ο) , Α2. Ι) Να υπολογίσετε το όριο [ΙΓΩ--'- . (µονάδες 4) χ.ο ΙΠΧ Π) Να αποδείξετε ότι Ε(η -Ί (µονάδες 3) και Ε(χ) Ξκ. για κάθε χ20 (μονάδες 2).

ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 4ΣΕΛΙΔΕΣ

Δ3. Να µελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση Ε (µονάδες 2) καινα 2 λύσετε την. εξίσωση Ε()-Ε(ο) --(κ-- 0) στο διάστηµα (ο, Σο) (μονάδες 3).

Δ4. Να αποδείξετε ότι για το εμβαδόν Ε του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης Ε, τις ευθείες Χ-Ί, ΧΞΘ καὶ τον άξονα ΧΧ ισχύει Ε»26-3

ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζοµένους / τις εξεταζόµενες)

1... Στο εξώφυλλο του τετραδίου να γράψετε το εξεταζόµενο µάθηµα. Στο εσώφυλλο πάνω-πάνω να συμπληρώσετε τα ατομικά στοιχεία μαθητή. Στην αρχή των απαντήσεών σας να γράψετε πάνω-πάνω την ηµεροµηνία και το εξεταζόµενο µάθηµα. Να µην αντιγράψετε τα θέµατα στο τετράδιο και να µη γράψετε πουθενά αλλού στο τετράδιό σας το ὀνομά σας.

2... Να γράψετε το ονοµατεπώνυμό σας στο πάνω µέρος των φωτοαντιγράφων αµέσως µόλις σας παραδοθούν. Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέµατα δεν θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε µαζί µε το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα.

Δ. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέµατα µόνο µε µπλε ή µόνο µε μαύρο στυλό µε μελάνι που δεν σβήνει. Μολύβι επιτρέπεται, µόνο αν το ζητάει η εκφώνηση, και µόνο για πίνακες, διαγράµµατα κ.λπ.

4. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη εἶναι αποδεκτή.

Β. Διάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες µετά τη διανοµή των φωτοαντιγράφων.

6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: 10.00 π.μ.

ΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 4ΣΕΛΙΔΕΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ

ΤΕΤΑΡΤΗ 10 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2025 ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι, αν η συνάρτηση Γ είναι παραγωγίσιµη σε ένα σηµείο Χρ Του πεδίου ορισμού της, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό.

ΑΖ2. Τι ονομάζουμε κρίσιμα σηµεία µιας συνάρτησης Τ{, ορισμένης σε ένα διάστηµα Δ;

ΑΔ. Να διατυπώσετε το Θεώρημα Μέσης Τιμής (Θ.Μ.Τ.) διαφορικού λογισμού και να δώσετε τη γεωμετρική του ερμηνεία.

Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, Τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Έστω µια συνάρτηση [, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστηµα [α,β]. Αν - η Γ είναι συνεχής στο [α.β] ες. Γ(α)-(β)«0 τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ΧρΕ (α.β) τέτοιο ώστε Τζο} Ξ 0. β) Οἱ γραφικές παραστάσεις Ο και Ο’ των συναρτήσεων Έ και γ1 είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία ΥΞΧ που διχοτοµεί τις γωνίες χΌψ και χ'Όγ . γ) Η συνάρτηση Π(χ)- νχ. Χε [ο ,οο) είναι παραγωγίσιµη στο πεδίο ορισμού της. δ) Αν η συνάρτηση { είναι συνεχής στο Χρ Και η συνάρτηση ὉΟ είναι συνεχής στο Τζο). τότε η σύνθεσή τους, Οοἵ[, είναι συνεχής στο Χρ. ε) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης -ΤΙ είναι συμμετρική της γραφικής παράστασης της [ ως προς τον άξονα ΥΎ.

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ

ΘΕΜΑΒ Δίνονται οι συναρτήσεις [(χ)Ξ ΙηΧ , ΧΣ0 και ο(χλ)Ξ 6:51, χεῖῖ. ΒΊ. Να αποδείξετε ότι η σύνθεση της συνάρτησης 4 µε τη συνάρτηση ἵ είναι η συνάρτηση (Γοα)(α) -Ια( ο” η) ,Χεῖξ.

Β2. Να δείξετε ότι η συνάρτηση [ο είναι αντιστρέψιμη (µονάδες 2) καὶ να βρείτε τη συνάρτηση η-(Ε-α]΄ (µονάδες 4).

Αν π(κ) --Ιπ( ο”- η , Χ2 0 τότε: Β3. Ι) Να µελετήσετε τη συνάρτηση Η ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα (μονάδες 4). ΠΙ) Να μελετήσετε τη συνάρτηση ΗΠ ως προς την κυρτότητα και τα σηµεία καμπής (µονάδες 4).

Β4. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης μ.

ΘΕΜΑΓ - : αχδ ον, Χὸ , : Δίνεται η συνάρτηση ρο--χ-σΧ ε--νΧ , Χε, όπου αε ἲ”. ΓΊ. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης ΓΙ στο σημείο της µε τετµημένη Χρ 0.

Γ2. Να βρείτε την ελάχιστη τιµή του α ώστε η [ να είναι κυρτή στο ἲ.

Στα επόµενα ερωτήματα να θεωρήσετε ότι α--ὃ. ΓΔ. Να υπολογίσετε το όριο: (0) ΙΠΠ---πρ----ο κ..0 Ιπ(Τρο--κ)

ΤΕΛΟΣ 2ΗΣ ΑΠΟ 4ΣΕΛΙΔΕΣ

Δ Γ4. Έστω Ε το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ που ορίζουν τα σηµεία Ο(ο.ο), Α(κ.θ) και Β(κ.Γ(ν)), µε ΧΣ0. Αν το Χ μεταβάλλεται µε ρυθµό 2οπΙ/ε8ο, να βρείτε τον ρυθµό μεταβολής του εμβαδού Ε, όταν ΧΞ 2ου.

ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η συνάρτηση Τ:ξ-» µε Ηήχ)- νχ΄ εφ Ί αχ , όπου αεῖξ. Για τη συνάρτηση Τ ισχύει ὁτι: θε Χο ψΧ΄ 1 , για κάθε χε. ΔΊ. Να αποδείξετε ότι: ) Γ(0)- -Ί (μονάδες 4) και Π) αΞξ-Ί (µονάδες 2).

Δ2. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης [ βρίσκεται πάνω από τον άξονα ΧΧ (µονάδες 3) και ότι η Τ εἶναι γνησίως φθίνουσα στο Τἳ (µονάδες 3).

Δ3. Έστω Ε µια αρχική συνάρτηση της συνάρτησης ΤΙ στο Ιξ. Να λύσετε στο διάστηµα [0.π] την εξίσωση: Ε(ημ΄χ) Ζ Ε(δημ΄χ) Ξ 2Ε(2ημἐκ)

Δ4. Να αποδείξετε ότι: : Τ--ΑΨ2 χημ(1-(χ]]άχ«--η-'-” [Γχομ(τ-τρο) οκ «ἷ-ς

ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 4ΣΕΛΙΔΕΣ

ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζοµένους)

1... Στο εξώφυλλο του τετραδίου να γράψετε το εξεταζόµενο µάθηµα. Στο εσώφυλλο πάνω-πάνω να συμπληρώσετε τα ατομικά σας στοιχεία. Στην αρχή των απαντήσεών σας να γράψετε πάνω-πάνω την ημερομηνία και το εξεταζόµενο µάθηµα. Να µην αντιγράψετε τα θέµατα στο τετράδιο και να µη γράψετε πουθενά στις απαντήσεις σας το ὀνομά σας.

2. Να γράψετε το ονοµατεπώνυμό σας στο πάνω µέρος των φωτοαντιγράφων αµέσως μόλις σας παραδοθούν. Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέµατα δεν θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί µε το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα.

3. . Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέµατα µόνο µε µπλε ή µόνο µε μαύρο στυλό µε μελάνι που δεν σβήνει.

4. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή.

Β. Διάρκεια εξέτασης: τρεις (9) ώρες µετά τη διανοµή των φωτοαντιγράφων.

6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: 17:00

ΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 4ΣΕΛΙΔΕΣ

ΑΡΧΗ 1 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΤΕΛΟΣ 1 ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΠΟΥ ΥΠΗΡΕΤΟΥΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ

ΑΡΧΗ 2 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΤΕΛΟΣ 2 ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ ΘΕΜΑ Β Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) ln x , x 0   και x g(x) e 1 , x     . Β 1. Να αποδείξετε ότι η σύνθε ση της συνάρτησης g με τη συνάρτηση f είναι η συνάρτηση      x e f x x g ln 1 ,      . Β 2. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f g  είναι αντιστρέψιμη ( μονάδες 3) και να βρείτε τη συνάρτηση   1 h f g    ( μονάδες 5). Αν     x e 1 , x 0 h x ln    τότε : Β 3. i) Να μελετήσετε τ η συνάρτηση h ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα ( μονάδες 4). ii) Να μελετήσετε τη συνάρτηση h ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής ( μονάδες 4). Β 4. Να βρείτε την κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης h . ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f με x ημ x α , x 0 f(x) e , x 0        , όπου α   . Γ 1. Να αποδείξετε ότι α 1  . Γ 2. Να εξετάσετε αν η f είναι παραγωγίσιμη στο 0 x 0  . Γ 3. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f , τον άξονα x x  και τι ς ευθεί ες x 2    και x 1  .

ΑΡΧΗ 3 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΤΕΛΟΣ 3 ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ Γ 4. Να εξετάσετε αν η συν άρτηση f ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο διάστημα   ,0   και στη συνέχεια να βρείτε , αν υπάρχουν , όλα τα   ,0     για τα οποία ισχύει   f 0    . ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η συνάρτηση   4 2 3 α x x f x x x , x 4 2       , όπου α *   . Δ 1. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνά ρτησης f στο σημε ίο της με τετμημέν η 0 x 0  . Δ 2. Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του α ώστε η f να είναι κυρτή στο  . Στα επόμενα ερωτήματα να θεωρήσετε ότι α 3  . Δ 3. Να υπολογίσετε το όριο :     x 0 ημ f(x) lim ln f(x) x   Δ 4. Έστω Ε το εμβαδόν του τριγώνου OAB  που ορίζουν τα σημεία   O 0,0 ,   A x,0 και     B x,f x , με x 0  . Αν το x μεταβάλλεται με ρυθμό 2cm/sec, να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής του ε μβ α δού Ε , όταν cm x 2  .

ΑΡΧΗ 4 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΤΕΛΟΣ 4 ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ ΟΔΗΓΙΕΣ ( για τους εξεταζομένους ) 1. Στο εξώφυλλο του τετραδίου να γράψετε το εξεταζόμενο μάθημα . Στο εσώφυλλο πάνω - πάνω να συμπληρώσετε τα ατομικά σας στοιχεία . Στην αρχή των απαντήσεών σας να γράψετε πάνω - πάνω την ημερομηνία και το εξεταζόμενο μάθημα . Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο και να μη γράψετε πουθενά στις απαντήσεις σας το όνομά σας . 2. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν . Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέματα δεν θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση . Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα . 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό με μελάνι που δεν σβήνει . 4. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή . 5. Διάρκεια εξέτασης : τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων . 6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης : 17:00 ΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ K ΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ