Μαθηματικά Επαναληπτικές 2023: Θέματα & Λύσεις

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ

ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ Ί5 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2023 ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΡΕΙΣ (3) ΘΕΜΑ Α Α1. . Αν µια συνάρτηση ἶ είναι παραγωγίσιµη σε ένα σηµείο Χρ του πεδίου ορισμού της, να αποδείξετε ότι είναι καὶ συνεχής στο σημείο αυτό.

Α2. Να διατυπώσετε το θεώρημα ΒοἰΖ8ηο.

Α3. Πότε λέμε ότι δύο συναρτήσεις Τ και 0] είναι ίσες;

Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο

Τετράδιό σας, δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη

λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι

λανθασμένη.

α) Αν Τ:Ηᾷ-» εἶναι µια “Ί-1” συνάρτηση, τότε οἱ γραφικές παραστάσεις Ο και Ο’ των συναρτήσεων Τ και ΕΞ" είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία Υ ΞΧ που διχοτοµεί τις γωνίες ΧΟΥ και ΧΌγ'.

β) Ισχύει ότι ΗΙπη ΙηΧΞ--ο.

χ-ο0”

γ) Για κάθε ζεύγος Τ,] συνεχών συναρτήσεων στο [α, β] ισχύει ότι: Ρ Ρ Ρ [Γουαροαχ--[τροαχ. [σίωακ α α α

δ) Αν τη Τ(χ)50, τότε Γ(χ)2 0 κοντά στοΧρ.

Χ-Χρ

ε) Οἱ γραφικές παραστάσεις πολυωνυμικών συναρτήσεων βαθμού

μεγαλύτερου ή ίσου του 2 έχουν ασύμπτωτες.

ΘΕΜΑ Β Δίνεται η συνάρτηση Τ:(0, τα) -» Τε µε τύπο ρἑ- χκεῖ . Χ ΒΊ. Να µελετήσετε την Τ ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙΔΕΣ

Β2. Να µελετήσετε την Γ ως προς την κυρτότητα και να προσδιορίσετε, αν υπάρχουν, τα σηµεία καμπής της γραφικής της παράστασης.

Β3. Να εξετάσετε αν ικανοποιούνται οι υποθέσεις του θεωρήματος ΚΕΚο!!Ιθ στο διάστηµα 2 31 3 2]

Β4. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της [, τον άξονα χ᾿χ και τις ευθείες ΧΞΊκαιχΞθ.

ΘΕΜΑΓ γξο γ µ - Γ Ι η µ Δ -Ἵ 0 Α(α, 0) Χ Στο παραπάνω σχήμα φαίνονται οι γραφικές παραστάσεις Ο, και Ος των συναρτήσεων Τ:-» Έ και ϱ᾿:(--,0) -» ἳ µε τύπους Τ(κ)-- 6΄΄ και α(χ)-----. Χ Το ορθογώνιο ΑΒΓΔ έχει τις κορυφές Α και Δ πάνω στον άξονα χ᾿χ και τις κορυφές Β και Γ πάνω στις Ο, καὶ Ος. αντίστοιχα. Έστω Α(α.,0) µε α5-Ί. Γ1. Να αποδείξετε ότι οι συντεταγμένες του σημείου Γ είναι (-ο-”', 633).

Γ2. Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του ορθογωνίου ΑΒΓΔ δίνεται, ως συνάρτηση του α, από τον τύπο Ε(α)Ξθ-εα. θα

Γ3. Να βρείτε τη θέση του σημείου Α για την οποία το εμβαδόν του ορθογωνίου ΑΒΓΔ µεγιστοποιείται.

ΤΕΛΟΣ 2ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙΔΕΣ

Γά4. Να εξετάσετε αν υπάρχει θέση του σημείου Α ώστε το ορθογώνιο ΑΒΓΔ να έχει εμβαδόν 4 τ.µ.

ΘΕΜΑ Δ

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση [Γ:ᾷ -» 8 για την οποία ισχύει:

Ί µ χἔ. {λ]- ηµχ., για κάθε χε0. [ χὁ 1 χ.ο ΔΊ. Να αποδείξετε ότι: Πχ) -Ξ ή ημας ’ ν-

Δ2. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης [{ στο σηµείο Ο(ο.ο). Μονάδες ὃ8

Δ3. Να βρείτε την ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της [ στο Ίο.

Δ4. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα

1 [-- [το συνχ αχ -Ί

ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζοµένους)

1... Στο εξώφυλλο του τετραδίου να γράψετε το εξεταζόµενο µάθηµα. Στο εσώφυλλο πάνω-πάνω να συμπληρώσετε τα ατομικά σας στοιχεία. Στην αρχή των απαντήσεών σας να γράψετε πάνω-πάνω την ημερομηνία καὶ το εξεταζόµενο µάθηµα. Να µην αντιγράψετε τα θέµατα στο τετράδιο καὶ να µη γράψετε πουθενά στις απαντήσεις σας το όνομά σας.

2. . Να γράψετε το ονοµατεπώνυμό σας στο πάνω µέρος των φωτοαντιγράφων αµέσως μόλις σας παραδοθούν. Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέµατα δεν θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί µε το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα.

3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέµατα µόνο µε µπλε ή µόνο µε μαύρο στυλό µε μελάνι που δεν σβήνει.

4. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη εἶναι αποδεκτή.

Β. Διάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες µετά τη διανοµή των φωτοαντιγράφων.

6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: 11:00

ΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙΔΕΣ