Μαθηματικά Επαναληπτικές 2024: Θέματα & Λύσεις

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ

ΤΡΙΤΗ 10 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2024 ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α1. Έστω η συνάρτηση Π(χΧ)᾽Ί᾽Χχ, Χεῖ. Να αποδείξετε ότι η Τ εἶναι παραγωγίσιµη στο Τἲ και ισχύει Γ(χ)--Ί.

Α2. Πότε µια συνάρτηση Τ λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστηµα Δ του πεδίου ορισμού της;

Α3. Να διατυπώσετε το Θεώρημα Μέγιστης και Ελάχιστης Τιμής.

Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, Τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. Η 1 α) Ισχύει ότι Ππη(χημ-)ΞΟ χ-οΟ. Χ β) Κάθε συνάρτηση !Τ διατηρεί πρόσημο σε καθένα από τα διαστήµατα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της χωρίζουν το πεδίο ορισμού της. γ) Η. συνάρτηση "χ)-χ”, αεξ-Ζ εἶναι παραγωγίσιµη στο (0, -- οο) και ισχύει ότι Γ(χ)-- αχδ-'. δ) Αν η συνάρτηση Τ[ εἶναι συνεχής σε διάστηµα Δ καα,βγεΔ, β γ β τότε ισχύει [τω άχ-- [τω ὀχε [έν αχ. α α γ ε) Αν [Γη [(χ) « 0, τότε [(χ) « 0 κοντά στοχ.. Χ-ΣΧο,

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ

ΘΕΜΑΒ Δίνεται η συνάρτηση Τ:(0, ο) -»Ιἲ µε τύπο [(χ)-- 2Ιηχ--Ί και η συνάρτηση α:ῑξ-»Η μετύπο ο(χ)᾽Χ-2. ΒΊ. Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση ΗΞ[οα.ἔ

Αν Η(χ)Ξ 2Ιπ(χ--2)-1, χ»2, τότε: Β2. Να µελετήσετε τη συνάρτηση Η ως προς την κυρτότητα.

Β3. Να δείξετε ότι η συνάρτηση Η αντιστρέφεται (μονάδες 3) και να βρείτε την αντίστροφή της Η΄’ (μονάδες 4).

χα] Β4. Αν μ΄) - 24282 , χε, να εξετάσετε αν ικανοποιούνται οι υποθέσεις του θεωρήματος ΗΕο!!Ιθ για τη συνάρτηση φ(χ)-(α-᾽Ον) --ᾱ)- (ο --ϐ) στο[-Ί.,2].

ΘΕΜΑΓ Δίνεται η παραγωγίσιµη συνάρτηση Τ με [ 6"''ελχ, χ«-Ί ΗΧ)Ξί αχτα , όπου αΣΊ καὶ λε ἃ ᾖ-πΏ---οε.. Χ2 -Ί ἰ Χχεα Γ1.. Να αποδείξετε ότι λ--Ί.

Γ2. Να αποδείξετε ότι Ι-- 2 (μονάδες 5) και στη συνέχεια να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης Έ στο σηµείο Α(--Ί, 0) (µονάδες 3).

ΤΕΛΟΣ 2ΗΣ ΑΠΟ 4ΣΕΛΙΔΕΣ

ΓΔδ. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης Τ{ -.

Γ4. Να αποδείξετε ότι: Π(ηµχ --2) Σ Ζημχ-2 ,γιακάθεχε κ.

ΘΕΜΑ Δ π Δίνονται οι συναρτήσεις Τ 9:(0, φ1-2ἃ για τις οποίες ισχύει: 2 , π ".{ᾖ60Χ)--σ(ν)| « (Χ--Υ) για κάθε χ.γε (0, ] π -᾿'᾿Ο(χ)- Γ(χ) ηµχ ,για κάθε χε (0Ο, 51 «2. 4 ΔΊ. Να αποδείξετε ότι: ἩΠ. ) η συνάρτηση ϐ εἶναι σταθερή γιακάθεχε (0, Ζῖ- () 1 Π).. ο τύπος της συνάρτησης Ί εἶναι ἕ(χ) -------. ηµχΧ ()

ΔΖ2. Να δείξετε ότι η συνάρτηση Τ είναι «Ί-Ί» (μονάδες 3) και να βρείτε το σύνολο τιµών της (μονάδες 3).

Δ3. Να δείξετε ότι η εξίσωση μ π Πω]-2 ἴ ω2--- ππ -ἠςτγὰὃὸ(Χῦύῦ-0,µεαε(- 5) κ.Π χ-ν2 6 2 4 π έχει ακριβώς µία ρίζα στο ς :ν2).

ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 4ΣΕΛΙΔΕΣ

Δ4. 1) Να δείξετε ότι η συνάρτηση 1 1 π Η(κ) Ξ --- Ιη(Ί--συνκ) ---- Ιπ(Ί--συνχ), χε (0, --] 2 2 2 Χ π είναι µια παράγουσα της συνάρτησης Η(χ)-- σ---- στο (Ο, --]. 1--συν΄χ 2 () Π) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης Τ και τις ευθείες γ- 2 χα Ξ κα Χξϱ-τ. 2 (Μονάδες ϐ)

ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζοµένους)

1... Στο εξώφυλλο του τετραδίου να γράψετε το εξεταζόµενο µάθηµα. Στο εσώφυλλο πάνω-πάνω να συμπληρώσετε τα ατομικά σας στοιχεία. Στην αρχή των απαντήσεών σας να γράψετε πάνω-πάνω την ημερομηνία και το εξεταζόµενο µάθηµα. Να µην αντιγράψετε τα θέµατα στο τετράδιο και να µη γράψετε πουθενά στις απαντήσεις σας το ὀνομά σας.

2. Να γράψετε το ονοµατεπώνυμό σας στο πάνω µέρος των φωτοαντιγράφων αµέσως μόλις σας παραδοθούν. Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέµατα δεν θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί µε το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα.

3. . Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέµατα µόνο µε µπλε ή µόνο µε μαύρο στυλό µε μελάνι που δεν σβήνει.

4. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή.

Β. Διάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες µετά τη διανοµή των φωτοαντιγράφων.

6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: 17:00

ΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 4ΣΕΛΙΔΕΣ