Μαθηματικά Επαναληπτικές 2025: Θέματα & Λύσεις

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ

ΤΕΤΑΡΤΗ 10 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2025 ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι, αν η συνάρτηση Γ είναι παραγωγίσιµη σε ένα σηµείο Χρ Του πεδίου ορισμού της, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό.

ΑΖ2. Τι ονομάζουμε κρίσιμα σηµεία µιας συνάρτησης Τ{, ορισμένης σε ένα διάστηµα Δ;

ΑΔ. Να διατυπώσετε το Θεώρημα Μέσης Τιμής (Θ.Μ.Τ.) διαφορικού λογισμού και να δώσετε τη γεωμετρική του ερμηνεία.

Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, Τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Έστω µια συνάρτηση [, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστηµα [α,β]. Αν - η Γ είναι συνεχής στο [α.β] ες. Γ(α)-(β)«0 τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ΧρΕ (α.β) τέτοιο ώστε Τζο} Ξ 0. β) Οἱ γραφικές παραστάσεις Ο και Ο’ των συναρτήσεων Έ και γ1 είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία ΥΞΧ που διχοτοµεί τις γωνίες χΌψ και χ'Όγ . γ) Η συνάρτηση Π(χ)- νχ. Χε [ο ,οο) είναι παραγωγίσιµη στο πεδίο ορισμού της. δ) Αν η συνάρτηση { είναι συνεχής στο Χρ Και η συνάρτηση ὉΟ είναι συνεχής στο Τζο). τότε η σύνθεσή τους, Οοἵ[, είναι συνεχής στο Χρ. ε) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης -ΤΙ είναι συμμετρική της γραφικής παράστασης της [ ως προς τον άξονα ΥΎ.

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ

ΘΕΜΑΒ Δίνονται οι συναρτήσεις [(χ)Ξ ΙηΧ , ΧΣ0 και ο(χλ)Ξ 6:51, χεῖῖ. ΒΊ. Να αποδείξετε ότι η σύνθεση της συνάρτησης 4 µε τη συνάρτηση ἵ είναι η συνάρτηση (Γοα)(α) -Ια( ο” η) ,Χεῖξ.

Β2. Να δείξετε ότι η συνάρτηση [ο είναι αντιστρέψιμη (µονάδες 2) καὶ να βρείτε τη συνάρτηση η-(Ε-α]΄ (µονάδες 4).

Αν π(κ) --Ιπ( ο”- η , Χ2 0 τότε: Β3. Ι) Να µελετήσετε τη συνάρτηση Η ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα (μονάδες 4). ΠΙ) Να μελετήσετε τη συνάρτηση ΗΠ ως προς την κυρτότητα και τα σηµεία καμπής (µονάδες 4).

Β4. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης μ.

ΘΕΜΑΓ - : αχδ ον, Χὸ , : Δίνεται η συνάρτηση ρο--χ-σΧ ε--νΧ , Χε, όπου αε ἲ”. ΓΊ. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης ΓΙ στο σημείο της µε τετµημένη Χρ 0.

Γ2. Να βρείτε την ελάχιστη τιµή του α ώστε η [ να είναι κυρτή στο ἲ.

Στα επόµενα ερωτήματα να θεωρήσετε ότι α--ὃ. ΓΔ. Να υπολογίσετε το όριο: (0) ΙΠΠ---πρ----ο κ..0 Ιπ(Τρο--κ)

ΤΕΛΟΣ 2ΗΣ ΑΠΟ 4ΣΕΛΙΔΕΣ

Δ Γ4. Έστω Ε το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ που ορίζουν τα σηµεία Ο(ο.ο), Α(κ.θ) και Β(κ.Γ(ν)), µε ΧΣ0. Αν το Χ μεταβάλλεται µε ρυθµό 2οπΙ/ε8ο, να βρείτε τον ρυθµό μεταβολής του εμβαδού Ε, όταν ΧΞ 2ου.

ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η συνάρτηση Τ:ξ-» µε Ηήχ)- νχ΄ εφ Ί αχ , όπου αεῖξ. Για τη συνάρτηση Τ ισχύει ὁτι: θε Χο ψΧ΄ 1 , για κάθε χε. ΔΊ. Να αποδείξετε ότι: ) Γ(0)- -Ί (μονάδες 4) και Π) αΞξ-Ί (µονάδες 2).

Δ2. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης [ βρίσκεται πάνω από τον άξονα ΧΧ (µονάδες 3) και ότι η Τ εἶναι γνησίως φθίνουσα στο Τἳ (µονάδες 3).

Δ3. Έστω Ε µια αρχική συνάρτηση της συνάρτησης ΤΙ στο Ιξ. Να λύσετε στο διάστηµα [0.π] την εξίσωση: Ε(ημ΄χ) Ζ Ε(δημ΄χ) Ξ 2Ε(2ημἐκ)

Δ4. Να αποδείξετε ότι: : Τ--ΑΨ2 χημ(1-(χ]]άχ«--η-'-” [Γχομ(τ-τρο) οκ «ἷ-ς

ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 4ΣΕΛΙΔΕΣ

ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζοµένους)

1... Στο εξώφυλλο του τετραδίου να γράψετε το εξεταζόµενο µάθηµα. Στο εσώφυλλο πάνω-πάνω να συμπληρώσετε τα ατομικά σας στοιχεία. Στην αρχή των απαντήσεών σας να γράψετε πάνω-πάνω την ημερομηνία και το εξεταζόµενο µάθηµα. Να µην αντιγράψετε τα θέµατα στο τετράδιο και να µη γράψετε πουθενά στις απαντήσεις σας το ὀνομά σας.

2. Να γράψετε το ονοµατεπώνυμό σας στο πάνω µέρος των φωτοαντιγράφων αµέσως μόλις σας παραδοθούν. Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέµατα δεν θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί µε το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα.

3. . Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέµατα µόνο µε µπλε ή µόνο µε μαύρο στυλό µε μελάνι που δεν σβήνει.

4. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή.

Β. Διάρκεια εξέτασης: τρεις (9) ώρες µετά τη διανοµή των φωτοαντιγράφων.

6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: 17:00

ΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 4ΣΕΛΙΔΕΣ