Μαθηματικά Επαναληπτικές 2021: Θέματα & Λύσεις

ΑΡΧΗ 1 ΗΣ ΣΕΛΙ∆ΑΣ ΗΜΗΡΕΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΤΕΛΟΣ 1 ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ∆ΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ

ΑΡΧΗ 2 ΗΣ ΣΕΛΙ∆ΑΣ ΗΜΗΡΕΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΤΕΛΟΣ 2 ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ∆ΕΣ ΘΕΜΑ Β Δίνεται η συνάρτηση f : (1, ) +∞ → \ με τύπο 1 f(x) 1 x = − και η συνάρτηση [ ) g : 0, +∞ → \ με τύπο g(x) x = . Β 1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f αντιστρέφεται και ότι η αντίστροφή της είναι η συνάρτηση 2 1 x 1 f (x) , x<0 x − − ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . Β 2. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση 1 h g f − = D είναι η x 1 h(x) , x<0 x − = . Β 3. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνά ρτηση ς h του ερωτήματος Β 2. Β 4. Να υπο λογίσετε το όριο x 0 h(x) 1 lim e x − → − ⎛ ⎞ ⋅ ημ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , όπου h είναι η συνάρτηση του ε ρωτήματος Β 2. ΘΕΜΑ Γ Κυκλική λίμνη έχει κέντρο Ο και ακτίνα R=1km. Ένας μαθητή ς μπορεί να κωπηλατεί με σταθερή ταχύτητα v 1 = 2km/h και μπορεί να βαδίζει με σταθερή ταχύτητα v 2 = 4km/h. Ο μαθητής θέλ ει να κάνει μια βόλτα στη λίμνη , ξεκινώντας από το ση μείο Α του σχ ήματος και καταλήγοντας στο αντιδιαμετρικό του σημεί ο Β . Ο μαθητής μπορεί : Ι . Να συνδ υάσει κωπηλασία και βάδισμα , κωπηλατώντας ευθύγραμμα από το σημείο Α σε σημείο Γ της περιφέρειας της λίμνης , τέτοιο ώστε η γωνία l ΒΟ Γ , (0, ) = θ θ ∈ π και στη συνέχεια να βαδίσει κατά μήκος του τόξου ΓΒ , όπως φαίνεται στο σχήμα . Ι Ι . Να κωπηλατήσει ευθύγραμμα από το σημείο Α στο ση μείο Β ( ) 0 θ = . Ι Ι Ι . Να βαδίσει στην περιφέρεια της λίμνης από το Α στο Β ( ) θ = π .

ΑΡΧΗ 3 ΗΣ ΣΕΛΙ∆ΑΣ ΗΜΗΡΕΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΤΕΛΟΣ 3 ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ∆ΕΣ Γ 1. Να αποδείξετε ότι ο χρόνος ( σε ώρες ) που χρειάζεται , γι α να διανύσει την παραπάνω διαδρομή , ω ς συνάρτ ηση της γωνίας θ ( σε ακτίνια ) εί ναι 1 t( ) , θ [0, ] 4 2 θ θ = θ + συν ∈ π . Δίνεται ότι σε έναν κύκλο ακτίνας R το μήκο ς S ενός τόξου π ο υ αντιστοιχεί σε επίκεντρη γωνία θ ( σε ακτίνια ) είναι S R = ⋅ θ . Γ 2. Να βρείτε την τιμή της γωνίας θ ώστε ο χρόνος της βόλτας τ ο υ μαθητή να γίνεται μέγιστος . Γ 3. Σε ποια από τις επι λογές ( Ι ), ( ΙΙ ) ή ( ΙΙΙ ) ο χρόνος μετ άβασης από τ ο σημείο Α στο σημ είο Β είν αι ο ελάχιστος δ υν α τ ό ς ; Να δικαιολογήσετε πλήρως την απάντησή σας . ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η συνάρτηση f : → \ \ με τύπο x f(x) e = και συνάρτηση g : → \ \ με τύπο 2 g(x) x x , = − + α α ∈ \ , για την οποία το όρι ο ( ) x lim g(x) x →+∞ − + α υπάρχει στο \ . Δ 1. Να αποδείξετε ότι 1 α = − . Δ 2. Να αποδείξετε ότι η μοναδική εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συν άρτησης f που διέρχεται από το σημείο Μ (-1,0) είναι η ευθεία ε : y = x + 1 ( μονάδες 3). Στη συν έχεια , να αποδείξετε ότι η ευθεία ( ε ) εφάπτεται και στη γραφική παράσταση της συνάρτησης g ( μονάδες 3).

ΑΡΧΗ 4 ΗΣ ΣΕΛΙ∆ΑΣ ΗΜΗΡΕΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΤΕΛΟΣ 4 ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ∆ΕΣ Δ 3. Να αποδείξετε ότι f(x) g(x) > , γι α κάθε x ∈ \ . Δ 4. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση : ( ) ( ) ( ) { } f x 1 x f x g x 0 , k 1 x k x k 1 − − − + = ∈ − − − − \ έχει μία τουλάχι στον ρίζα στο διάστημα (k, k+1). ΟΔΗΓΙΕΣ ( για τους εξεταζομένους ) 1. Στο εξώφυλλο του τετραδίου να γράψετε το εξεταζόμενο μάθημα . Στο εσώφυλλο πάνω - πάνω να συμπληρώσετε τα ατομικά σας στοιχεία . Στην αρχή των απαντήσεών σας να γράψετε πάνω - πάνω την ημερομηνία και το εξεταζόμενο μάθημα . Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο και να μη γράψετε πουθενά στις απαντήσεις σας το όνομά σας . 2. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν . Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέματα δεν θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση . Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα . 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό με μελάνι που δεν σβήνει . 4. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή . 5. Διάρκεια εξέτασης : τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων . 6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης : 17:00 ΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ K ΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ