Μαθηματικά Επαναληπτικές 2022: Θέματα & Λύσεις

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ

ΣΑΒΒΑΤΟ 10 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2022 ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑΑ ΑΊ. Να αποδείξετε ὁτι, αν µια συνάρτηση ΤΙ εἶναι παραγωγίσιµη σε ένα σηµείο Χρ, Τότε είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό.

ΑΣ. Πότε η ευθεία ΥΞλΧεβ λέγεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης Ί στο ο;

Α3. Να διατυπώσετε το Θεώρημα Μέσης Τιμής (Θ.Μ.Τ.) του Διαφορικού Λογισμού και να το ερμηνεύσετε γεωμετρικά.

Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τΤετράδιό σας, δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τή λέξη Σωστό, αν η πρόταση εἶναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση εἶναι λανθασμένη. α) Αν τη [(χ)20, τότε Τ(χ)2 0 κοντά στο Χρ. Χ-Χο β) Έστω µια συνάρτηση Τ συνεχής στο διάστηµα [α.β]. Αν Π(χ)20, Ρ για κάθε χε[αβ], τότε [ Η(χ)άχ 0. γ) Έστω µια συνάρτηση ΤΓ ορισμένη σε ένα διάστηµα Δ και Χρ ἕνα εσωτερικό σηµείο του Δ. Αν η [ παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο Χρ Καὶ είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο αυτό, τότε "(χρ)Ξ0. δ) ἰσχύει [τη Σο. χο Χ ε) Η συνάρτηση Π(χ]-- Ιπρή, ΧΕ Ε-μ-(ο;, είναι παραγωγίσιµη στο Β΄ και ισχύει: 1 . (πα: για κάθε ΧΕ]. Χ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4ΣΕΛΙΔΕΣ

ΘΕΜΑΡΒ Δίνονται οι συναρτήσεις Ε: (1,--)-»» πὶ µε τύπο πως και χ- σ:(0, ο) -» πὶ µε τύπο σαχ) ΞΙηχ. ΒΊ. Να βρείτε, αν υπάρχουν, τις κατακόρυφες και οριζόντιες ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης ΤΓ.

Β2. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση Τ(κ) - ο(χ) έχει µία, τουλάχιστον, ρίζα στο διάστηµα (ο, 6’).

Β3. Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση φ-αοἳ.

Χ Β4. Δίνεται επιπλέον η συνάρτηση µε τύπο νι." . Αν χ- φ(χ) ΞΞ Ιηχ --Ιη(χ--Ί), Χε (Ί, «-οο), να εξετάσετε αν φΞΗ.

ΘΕΜΑΓ Δίνεται η συνάρτηση Τ:πᾷ -» Τἳ για την οποία ισχύουν: - Η Γείναι δύο φορές παραγωγίσιµη στο [ξ. ο. Τ(χ)--ημχ [η ΟΠΗΣ ϱ. - χο. Χ ο. Γ(χ)Ι"(χ)-ὲ χ. για κάθε χε. Γ1.. |. Να αποδείξετε ότι {(0) “0 και Γ(0) -Ί (μονάδες 4). Η. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της Γ στο σηµείο µε τετµημένη Χρ ΞΌ (µονάδες 2).

ΤΕΛΟΣ 2ΗΣ ΑΠΟ 4ΣΕΛΙΔΕΣ

Γ2. Να αποδείξετε ότι Γ(χ]᾽ψχ΄ 1, χε.

Γ3. Να προσδιορίσετε τα διαστήµατα στα οποία η συνάρτηση ἵ είναι κυρτή ή κοίλη και να βρείτε, αν υπάρχουν, τα σηµεία καμπής της γραφικής της παράστασης.

Γ4. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση Τ εἶναι «Ί-Ί» (μονάδες 2) και στη συνέχεια να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ΕΕ" (µονάδες 5).

ΘΕΜΑΔ Δίνεται η συνάρτηση Τ με [-κ᾿εδχεῖ, -Ίςχ«Ο0 ρ)- 2 | κ. θ«-χ--. ἰ θ ΔΊ. Να αποδείξετε ότι η { είναι συνεχής αλλά µη παραγωγίσιµη στο ΧρΞ.

Δ2. Ἱ. Να βρείτε τα κρίσιμα σηµεία της Γ (μονάδες 3). ΙΙ. Να βρείτε το σύνολο τιµών της Τ (μονάδες 5).

εν . 21. 21 Δ3. Να αποδείξετε ότι για κάθε α,βε «1 Ι υπάρχει ξε «1. Ι τέτοιο θ θ ώστε ςς) -ΕΠΘ- 50)

Ξ 22 11 Δ4. Να αποδείξετε ότι Γ χτ(χ) αχ 2 (--)- -(--)-- 1 [-} 8 θ

ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ

ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζοµένους)

1. Στο εξώφυλλο του τετραδίου να γράψετε το εξεταζόµενο µάθηµα. Στο εσώφυλλο πάνω- πάνω να συμπληρώσετε τα ατοµικά σας στοιχεία. Στην αρχή των απαντήσεών σας να γράψετε πάνω-πάνω την ηµεροµηνία και το εξεταζόµενο µάθηµα. Να µην αντιγράψετε τα θέµατα στο τετράδιο και να µη γράψετε πουθενά στις απαντήσεις σας το όνομά σας.

2. Να γράψετε το ονοµατεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αµέσως µόλις σας παραδοθούν. Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέµατα δεν θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί µε το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα.

3. . Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέµατα µόνο µε µπλε ή µόνο µε μαύρο στυλό µε μελάνι που δεν σβήνει.

4. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή.

Β. . Διάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ὧρες µετά τη διανοµή των φωτοαντιγράφων.

6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: 17:00

ΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ