Μαθηματικά Ομογενών 2022: Θέματα & Λύσεις

ΑΡΧΗ 1 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΤΕΛΟΣ 1 ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΠΟΥ ΥΠΗΡΕΤΟΥΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ

ΑΡΧΗ 2 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΤΕΛΟΣ 2 ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ ΘΕΜ Α Β Δ ί νε τ αι η σ υ νάρτ ησ η f : →   μ ε τ ύ πο 3 f(x) x 3x 1. = − + Β1 . Να μ ε λε τή σε τ ε ως προ ς τ η μ ο νο το νί α και τ α ακρό τ ατ α τη σ υ νάρτ η ση f . Μο νάδ ες 6 Β 2 . Να β ρε θεί η ε ξίσ ωσ η τη ς ε φαπτ ο μέ νη ς τ η ς γραφι κή ς παράσ τ ασ η ς τη ς f σ τ ο σ η μεί ο τ η ς με τ ε τμ ημ έ νη 0 x 0. = Μο νάδ ες 6 Β 3 . Να υ πο λο γί σε τε το 2 1 f(x) dx . x Ι = ∫ Μο νάδ ες 7 Β 4 . Να υ πο λο γί σε τε το 3 x f(x) lim . x → +∞ Μο νάδ ες 6 ΘΕΜ Α Γ Δ ί νο ντ α ι οι σ υ ναρτή σ ει ς ( ) f : 1, + ∞ →  μ ε τ ύ πο x f(x) x 1 = − και ( ) g : 0, + ∞ →  μ ε τ ύ πο g(x) lnx. = Γ 1 . Να β ρε ίτ ε , αν υ πάρχο υ ν, τ ι ς κατακό ρυ φε ς και ο ρι ζό ντι ες ασ ύμ πτ ωτε ς τ η ς γραφι κή ς παράσ τ αση ς τη ς σ υ νάρτη σ η ς f . Μο νάδ ες 6 Γ 2 . Να α πο δ εί ξε τε ό τι η ε ξί σ ωση f(x) g(x) = έ χε ι μ ί α, τ ου λάχι στ ο ν, ρί ζα σ τ ο δ ιάσ τη μ α ( ) 2 e, e . Μο νάδ ες 8 Γ 3 . Να προ σ δι ορίσ ετ ε τ η συ νάρτ η σ η φ g f .  = Μο νάδ ες 6

ΑΡΧΗ 3 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΤΕΛΟΣ 3 ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ Γ4 . Δ ί νε τ αι ε πι πλέ ο ν η σ υ νάρτ η ση με τύ πο x h(x) ln . x 1   =   −   Α ν (x) ln x ln(x 1) , x (1, ), ϕ = − − ∈ + ∞ να ε ξ ε τ ά σε τε αν h. ϕ = Μο νάδ ες 5 ΘΕΜ Α Δ Δ ί νε τ αι η σ υ νάρτ ησ η f : →   γι α τ η ν ο ποί α ισ χύ ο υ ν : • Η f εί ναι δ ύο φο ρές παραγ ωγί σιμ η στο .  • x 0 . f(x) x lim 0 x → − ημ = • f (x) f (x) x ′ ′′ = , γι α κάθε x . ∈  Δ 1 . Να α πο δ εί ξε τε ότι f(0) 0 = και f (0) 1. ′ = Μο νάδ ες 8 Δ 2 . Να α πο δ εί ξε τε ότι 2 f (x) x 1 ′ = + , x . ∈  Μο νάδ ες 6 Δ 3 . Να προ σ δι ο ρί σε τε τ α δι αστ ή ματ α σ τ α ο ποί α η συ νάρτ η σ η f ε ί ναι κυρτ ή ή κο ί λη και να β ρεί τε , αν υ πάρχο υ ν, τ α σ ημ εί α καμ πή ς τ η ς γραφι κή ς τ η ς παράσ τ ασ η ς . Μο νάδ ες 6 Δ 4 . Να α πο δ εί ξε τε ότ ι η σ υ νάρτ η ση f ε ίναι « 1 - 1 » (μο νάδ ες 2 ) και στ η σ υ νέ χε ι α να β ρε ίτ ε τ ο πε δί ο ο ρισ μ ού τ η ς σ υ νάρτ η ση ς 1 f − (μο νάδ ε ς 3 ). Μο νάδ ες 5

ΑΡΧΗ 4 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΤΕΛΟΣ 4 ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζομένους) 1. Στο εξώφυλλο του τετραδίου να γράψετε το εξεταζόμενο μάθημα. Στο εσώφυλλο πάνω - πάνω να συμπληρώσετε τα ατομικά σας στοιχεία. Στην αρχή των απαντήσεών σας να γράψετε πάνω - πάνω την ημερομηνία και το εξεταζόμενο μάθημα. Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο και να μη γράψετε πουθενά στις απαντήσεις σας το όνομά σας. 2. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέματα δεν θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση . Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό με μελάνι που δεν σβήνει. 4. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 5. Διάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: 1 7:00 ΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ K ΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ