Μαθηματικά Ομογενών 2024: Θέματα & Λύσεις

ΑΡΧΗ 1 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΤΕΛΟΣ 1 ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙΔΕΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΠΟΥ ΥΠΗΡΕΤΟΥΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ

ΑΡΧΗ 2 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΤΕΛΟΣ 2 ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙΔΕΣ ΘΕΜΑ Β Δίνεται η συνάρτηση f : (0 , )     με τύπο f(x) 2ln x 1   και η συνάρτηση g :    με τύπο g(x) x 2   . Β 1. Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση h f g   . Αν h(x) 2ln( x 2) 1, x 2     , τότε : Β 2. Να βρείτε τις πραγματικές τιμές του x για τις οποίες η γραφική παράσταση της συνάρτησης h βρίσκεται πάνω από την ευθεία y 1  . Β 3. Να δείξετε ότι η συνάρτηση h αντιστρέφεται ( μονάδες 3) και να βρείτε την αντίστροφή της 1 h  ( μονάδες 4). Β 4. Αν x 1 1 2 h (x) 2 e , x       , να εξετάσετε αν ικανοποιούνται οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle για τη συνάρτηση 1 3 (x) (h (x) 3) (x 8)       στο [ 1 , 2]  . ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η συνάρτηση f : [0 , 3]   με τύπο x x f(x) e  . Γ 1. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως π ρ ος την μονοτονία και τα ακρότατα ( τοπικά και ολικά ). Γ 2. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής . Γ 3. Μ ε βάση τα ερωτήματα Γ 1 και Γ 2, να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση f . Γ 4. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρί ου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f , τον άξ ονα των x και τι ς ευθείες x 0  και x 1  .

ΑΡΧΗ 3 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΤΕΛΟΣ 3 ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙΔΕΣ ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f με x 1 e λ x, x 1 f(x) α x α , x 1 x α               , όπου α 1  και λ   Δ 1. Να αποδείξετε ότι λ 1  . Δ 2. Να αποδείξετε ότι α 2  ( μονάδες 5) και στη συν έχεια να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτηση ς f στο σημ είο Α ( 1, 0)  ( μονάδες 3). Δ 3. Να βρείτε τις ασύμπτ ωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f . Δ 4. Να αποδείξετε ότι : f( ημ x 2) 2 ημ x 2    , γι α κάθε x   . ΟΔΗΓΙΕΣ ( για τους εξεταζομένους ) 1. Στο εξώφυλλο του τετραδίου να γράψετε το εξεταζόμενο μάθημα . Στο εσώφυλλο πάνω - πάνω να συμπληρώσετε τα ατομικά σας στοιχεία . Στην αρχή των απαντήσεών σας να γράψετε πάνω - πάνω την ημερομηνία και το εξεταζόμενο μάθημα . Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο και να μη γράψετε πουθενά στις απαντήσεις σας το όνομά σας . 2. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν . Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέματα δεν θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση . Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα . 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό με μελάνι που δεν σβήνει . 4. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή . 5. Διάρκεια εξέτασης : τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων . 6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης : 17:00 ΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ K ΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ