Μαθηματικά Ομογενών 2021: Θέματα & Λύσεις

ΑΡΧΗ 1 ΗΣ ΣΕΛΙ∆ΑΣ ΤΕΛΟΣ 1 ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙ∆ΕΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΠΟΥ ΥΠΗΡΕΤΟΥΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ

ΑΡΧΗ 2 ΗΣ ΣΕΛΙ∆ΑΣ ΤΕΛΟΣ 2 ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙ∆ΕΣ ΘΕΜΑ Β Δίνεται η συνάρτηση f : (1, ) +∞ → \ με τύπο 1 f(x) 1 x = − και η συνάρτηση [ ) g : 0, +∞ → \ με τύπο g(x) x = . Β 1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f αντιστρέφεται και ότι η αντίστροφη της είναι η 2 1 x 1 f (x) , x<0 x − − ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . Β 2. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση 1 g f − D είναι η x 1 h(x) , x<0 x − = . Β 3. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνά ρτηση ς h του ερωτήματος Β 2. ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η συνάρτηση f : (0, ) +∞ → \ με τύπο n x f(x) x = A . Γ 1. Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα . Γ 2. Να μελετηθεί η f ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής . Γ 3. Να βρεθεί το σύνολο τιμών της συνά ρτησης f . Γ 4. Να βρεθεί το πλήθος τ ων ριζών της εξίσωσης f(x) k = για τις διάφορες πραγματι κές τιμές του k . ΘΕΜΑ Δ Δίνονται f,g : → \ \ με τύπους x 2 f(x) e , g(x) x x = = − − . Δ 1. Να αποδείξετε ότι η μοναδική εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συν άρτησης f που διέρχεται από το σημείο Μ (-1,0) είναι η ευθεία ε : y = x + 1 .

ΑΡΧΗ 3 ΗΣ ΣΕΛΙ∆ΑΣ ΤΕΛΟΣ 3 ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙ∆ΕΣ Δ 2. Να αποδείξετε ότι η ευθεία ( ε ) του ερωτήματος Δ 1 εφάπτεται και στη γραφική παράσταση της συνάρτησης g. Δ 3. Να αποδείξετε ότι f(x) g(x) > , γι α κάθε x ∈ \ . ΟΔΗΓΙΕΣ ( για τους εξεταζομένους ) 1. Στο εξώφυλλο του τετραδίου να γράψετε το εξεταζόμενο μάθημα . Στο εσώφυλλο πάνω - πάνω να συμπληρώσετε τα ατομικά σας στοιχεία . Στην αρχή των απαντήσεών σας να γράψετε πάνω - πάνω την ημερομηνία και το εξεταζόμενο μάθημα . Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο και να μη γράψετε πουθενά στις απαντήσεις σας το όνομά σας . 2. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν . Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέματα δεν θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση . Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα . 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό με μελάνι που δεν σβήνει . 4. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή . 5. Διάρκεια εξέτασης : τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων . 6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης : 17:00 ΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ K ΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ