Μαθηματικά Ομογενών 2025: Θέματα & Λύσεις

ΑΡΧΗ 1 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΤΕΛΟΣ 1 ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΠΟΥ ΥΠΗΡΕΤΟΥΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ

ΑΡΧΗ 2 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΤΕΛΟΣ 2 ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ ΘΕΜΑ Β Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) ln x , x 0   και x g(x) e 1 , x     . Β 1. Να αποδείξετε ότι η σύνθε ση της συνάρτησης g με τη συνάρτηση f είναι η συνάρτηση      x e f x x g ln 1 ,      . Β 2. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f g  είναι αντιστρέψιμη ( μονάδες 3) και να βρείτε τη συνάρτηση   1 h f g    ( μονάδες 5). Αν     x e 1 , x 0 h x ln    τότε : Β 3. i) Να μελετήσετε τ η συνάρτηση h ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα ( μονάδες 4). ii) Να μελετήσετε τη συνάρτηση h ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής ( μονάδες 4). Β 4. Να βρείτε την κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης h . ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f με x ημ x α , x 0 f(x) e , x 0        , όπου α   . Γ 1. Να αποδείξετε ότι α 1  . Γ 2. Να εξετάσετε αν η f είναι παραγωγίσιμη στο 0 x 0  . Γ 3. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f , τον άξονα x x  και τι ς ευθεί ες x 2    και x 1  .

ΑΡΧΗ 3 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΤΕΛΟΣ 3 ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ Γ 4. Να εξετάσετε αν η συν άρτηση f ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο διάστημα   ,0   και στη συνέχεια να βρείτε , αν υπάρχουν , όλα τα   ,0     για τα οποία ισχύει   f 0    . ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η συνάρτηση   4 2 3 α x x f x x x , x 4 2       , όπου α *   . Δ 1. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνά ρτησης f στο σημε ίο της με τετμημέν η 0 x 0  . Δ 2. Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του α ώστε η f να είναι κυρτή στο  . Στα επόμενα ερωτήματα να θεωρήσετε ότι α 3  . Δ 3. Να υπολογίσετε το όριο :     x 0 ημ f(x) lim ln f(x) x   Δ 4. Έστω Ε το εμβαδόν του τριγώνου OAB  που ορίζουν τα σημεία   O 0,0 ,   A x,0 και     B x,f x , με x 0  . Αν το x μεταβάλλεται με ρυθμό 2cm/sec, να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής του ε μβ α δού Ε , όταν cm x 2  .

ΑΡΧΗ 4 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΤΕΛΟΣ 4 ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ ΟΔΗΓΙΕΣ ( για τους εξεταζομένους ) 1. Στο εξώφυλλο του τετραδίου να γράψετε το εξεταζόμενο μάθημα . Στο εσώφυλλο πάνω - πάνω να συμπληρώσετε τα ατομικά σας στοιχεία . Στην αρχή των απαντήσεών σας να γράψετε πάνω - πάνω την ημερομηνία και το εξεταζόμενο μάθημα . Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο και να μη γράψετε πουθενά στις απαντήσεις σας το όνομά σας . 2. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν . Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέματα δεν θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση . Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα . 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό με μελάνι που δεν σβήνει . 4. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή . 5. Διάρκεια εξέτασης : τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων . 6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης : 17:00 ΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ K ΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ